【題目】(1)如圖1,在等邊△ABC中,點M是BC邊上的任意一點(不含端點B,C),連結(jié)AM,以AM為邊作等邊△AMN,并連結(jié)CN.求證:AB=CN+CM.
(2)(類比探究)如圖2,在等邊△ABC中,若點M是BC延長線上的任意一點(不含端點C),其它條件不變,則AB=CN+CM是否還成立?若成立,請說明理由;若不成立,請寫出AB,CN,CM三者之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
【答案】(1)見解析;(2)不成立,AB=CN﹣CM,見解析
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC=AC,∠BAC=∠B=∠ACB=60°,AM=MN=AN,∠MAN=∠AMN=∠ANM=60°,證明△BAM≌△CAN,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)、結(jié)合圖形證明結(jié)論;
(2)仿照(1)的證明過程解答即可.
(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=BC=AC,∠BAC=∠B=∠ACB=60°,
∵△AMN是等邊三角形,
∴AM=MN=AN,∠MAN=∠AMN=∠ANM=60°,
∴∠BAC﹣∠MAC=∠MAN﹣∠MAC,即∠BAM=∠CAN,
在△BAM和△CAN中,,
∴△BAM≌△CAN(SAS)
∴BM=CN,
∴AB=BC=BM+CM=CN+CM;
(2)解:AB=CN+CM不成立,AB=CN﹣CM,
由(1)可知,∠BAC=∠MAN
∴∠BAC+∠MAC=∠MAN+∠MAC,即∠BAM=∠CAN,
在△BAM和△CAN中,,
∴△BAM≌△CAN(SAS)
∴BM=CN,
∴AB=BC=BM﹣CM=CN﹣CM.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司計劃購買A,B兩種型號的電腦,已知購買一臺A型電腦需0.6萬元,購買一臺B型電腦需0.4萬元,該公司準(zhǔn)備投入資金y萬元,全部用于購進(jìn)35臺這兩種型號的電腦,設(shè)購進(jìn)A型電腦x臺.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)若購進(jìn)B型電腦的數(shù)量不超過A型電腦數(shù)量的2倍,則該公司至少需要投入資金多少萬元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有這樣一個問題:探究函數(shù)y=x+|x﹣2|的圖象與性質(zhì)
小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗,對函數(shù)y=x+|x﹣2|的圖象與性質(zhì)進(jìn)行了探究
下面是小明的探究過程,請補(bǔ)充完成:
(1)化簡函數(shù)解析式,當(dāng)x≥2時,y= ;當(dāng)x<2時,y= ;
(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果,請在圖1的坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x+|x﹣2|的圖象;
(3)結(jié)合函數(shù)的圖象,寫出該函數(shù)的一條性質(zhì): ;
(4)結(jié)合畫出的函數(shù)圖象,利用圖2解決問題,若關(guān)于x的方程ax+1=x+|x﹣2|有兩個實數(shù)根,直接寫出實數(shù)a的取值范圍: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】八年級的小明同學(xué)通到這樣一道數(shù)學(xué)題目:△ABC為邊長為4的等邊三角形,E是邊AB邊上任意一動點,點D在CB的延長線上,且滿足AE=BD.
(1)如圖①,當(dāng)點E為AB的中點時,DE= ;
(2)如圖②,點E在運(yùn)動過程中,DE與EC滿足什么數(shù)量關(guān)系?請說明理由;
(3)如圖③,F是AC的中點,連接EF.在AB邊上是否存在點E,使得DE+EF值最小?若存在,求出這個最小值;若不存在,請說明理由.(直角三角形中,30°所對的邊是斜邊的一半)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0)和點B(3,0),與y軸交于點C,連接BC交拋物線的對稱軸于點E,D是拋物線的頂點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)求點C和點D的坐標(biāo);
(3)若點P在第一象限內(nèi)的拋物線上,且S△ABP=4S△COE,求P點坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖在平面直角坐標(biāo)系中,點,點是軸上方的點,且,、分別平分、,過點作,與的延長線交于點.
(1)當(dāng)時,求的長.
(2)求證:.
(3)若的中點為,探究點橫坐標(biāo)的規(guī)律.
特殊情況探究:①當(dāng)時,求出此時點的橫坐標(biāo)為6,②當(dāng)時,求得此時點的橫坐標(biāo)為______.
一般情況探究:③當(dāng)時,點橫坐標(biāo)的規(guī)律是什么?并證明這個規(guī)律.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“圓材埋壁”是我國著名的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題,“今有圓材,埋于壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺,問徑幾何?” 用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言表達(dá)是:“如圖,CD是⊙O的直徑,弦AB⊥CD,垂足為E,CE = 1寸,AB = 1尺,求直徑的長”. 依題意,CD長為( )
A. 寸 B. 13寸 C. 25寸 D. 26寸
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置,使點對應(yīng)點落在直線上,再將繞點旋轉(zhuǎn)到的位置,使點的對應(yīng)點落在直線上,依次進(jìn)行下去…,若點的坐標(biāo)為,點的坐標(biāo)為,則點的橫坐標(biāo)為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的半徑為5cm,弦AB為8cm,P為弦AB上的一動點,若OP的長度為整數(shù),則滿足條件的點P有____個.
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