Question

【題目】如圖，，點在上，過點，分別與、交于、，過作于．

求證：是的切線；

若與相切于點，的半徑為，，求長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）8.

【解析】

（1）連接OD，由AB=AC，利用等邊對等角得到一對角相等，再由OB=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到一對同位角相等，利用同位角相等兩直線平行得到OD與AC平行，根據(jù)DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可確定出DF為圓O的切線；

（2）連接OG，由AC為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OG垂直于AC，利用三個角為直角且鄰邊相等的四邊形為正方形得到ODFG為正方形，且邊長為3，設(shè)AB=AC=x，表示出OA與AG，在直角三角形AOG中，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AC的長．

（1）連接OD．

∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC．

∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，則DF為圓O的切線；

（2）連接OG．

∵AC與圓O相切，∴OG⊥AC，∴∠OGF=∠GFD=∠ODF=90°，且OG=OD，∴四邊形ODFG為邊長為3的正方形，設(shè)AB=AC=x，則有AG=x﹣3﹣1=x﹣4，AO=x﹣3．

在Rt△AOG中，利用勾股定理得：AO2=AG2+OG2，即（x﹣3）2=（x﹣4）2+32，解得：x=8，則AC=8．