Question

如圖，P是正方形ABCD對角線BD上一動點(diǎn)，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分別為垂足，
（1）若CF=3，CE=4，求AP的長．
（2）若AB=8，直接寫出EF的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，作PF延長線交AD于Q，易證四邊形DEPQ為正方形，根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系可求出a的值，進(jìn)而求出AQ的長，利用勾股定理即可求出AP的長；
（2）連結(jié)PC，易證△ABP≌△CBP，利用全等三角形的性質(zhì)可得AP=PC，再證明四邊形PECF是矩形，由矩形的性質(zhì)對角線相等可得PC=EF，所以EF的最小值即為AP的值，問題的解．

解答：解：（1）設(shè)正方形ABCD的邊長為a，
作PF延長線交AD于Q，則四邊形DEPQ為正方形，
∴PQ=DQ=3，
∵PQ=FQ-PF，
即a-4=3，
∴a=7，
即 AD=7，
∴AQ=AD-DQ=4，
∴AP=

32+42

=5
（2）連結(jié)PC，
∵四邊形ABCD是正方形，BD為對角線，
∴∠BCD=90°，AB=BC，∠ABP=∠CBP，
又∵BP=BP，
在△ABP和△CBP中，

AB=BC ∠ABP=∠CBP BP=BP

，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，
∵PE⊥DC，PF⊥BC，
∴∠PFC=∠PEC=∠BCD=90°，
∴四邊形PFCE是矩形，
∴PC=FE，
∴EF=AP=5，
故答案為：5．

點(diǎn)評：本題考查了正方形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的運(yùn)用，題目的綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．