Question

已知點A（m，n），B（p，q）（m＜p）在直線y=kx+b上．
（1）若m+p=2，n+q=2b²+6b+4．試比較n和q的大小，并說明理由；
（2）若k＜0，過點A與x軸平行的直線和過點B與y軸平行的直線交于點C（1，1），AB=5，且△ABC的周長為12，求k、b的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)點A（m，n），B（p，q）在直線y=kx+b上得出n、q的表達式，再根據(jù)m+p=2，n+q=2b²+6b+4可得出關(guān)于k的表達式，進而判斷出k的符號，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)AC∥x軸，BC∥y軸，C（1，1）得出n，p的值，進而得出A，B兩點的坐標，根據(jù)k＜0可知m＜1，q＜1，故AC=1-m，BC=1-q，由AB=5可得出關(guān)于m的一元二次方程，求出m的值即可得出A、B兩點的坐標，代入直線y=kx+b即可得出k、b的值．

解答：解：（1）∵點A（m，n），B（p，q）在直線y=kx+b上．
∴n=km+b，q=kp+b．   
∴n+q=k（m+p）+2b．
∵m+p=2，
∴2b²+6b+4=2k+2b，
∴k=b²+2b+2=（b+1）²+1＞0，
∵m＜p，
∴n＜q；

（2）解1：∵AC∥x軸，BC∥y軸，C（1，1），
∴n=1，p=1，
∴A（m，1），B（1，q）．
∵k＜0，
∴m＜1，q＜1，
∴AC=1-m，BC=1-q，
∴

(1-m)2+(1-q)2=25 (1-m+(1-q)=12-5

，
整理得m²+5m+6=0，
解得m₁=-2，m₂=-3．
當m₁=-2時，q₁=-3，此時A（-2，1），B（1，-3），
代入直線y=kx+b得k₁=-

4

3

，b₁=-

5

3

；
當m₂=-3時，q₂=-2，此時A（-3，1），B（1，-2），
代入直線y=kx+b得k₂=-

3

4

，b₂=-

5

4

．
綜上所述，當k₁=-

4

3

時，b₁=-

5

3

；當k₂=-

3

4

時，b₂=-

5

4

．
解2：∵AC∥x軸，BC∥y軸，C（1，1），
∴n=1，p=1，
∴A（m，1），B（1，q）．
∵k＜0，
∴m＜1，q＜1，
∴AC=1-m，BC=1-q．
依題意得

AC2+BC2=25 AC+BC=12-5

，
∴（AC+BC）²=7²，可得AC•BC=12，
∴

AC•BC=12 AC+BC=7

，
整理得AC²-7AC+12=0，
解得AC=3或AC=4．
當AC=3時，BC=4，此時A（-2，1），B（1，-3），
代入直線y=kx+b得k₁=-

4

3

，b₁=-

5

3

；
當AC=4時，BC=3，此時A（-3，1），B（1，-2），
代入直線y=kx+b得k₂=-

3

4

時，b₂=-

5

4

．
綜上所述，當k₁=-

4

3

，b₁=-

5

3

；當k₂=-

3

4

時，b₂=-

5

4

．

點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，熟知一次函數(shù)的增減性、一次函數(shù)圖象上點的坐標特點等知識是解答此題的關(guān)鍵．