Question

如圖，拋物線y=x²-2x+c過點(diǎn)A（3，0），交y軸于點(diǎn)D．直線y=-

3

2

x-1交y軸于點(diǎn)M，與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B，連結(jié)DB．
（1）求△DBM的面積；
（2）在該拋物線的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)P，使得△POM的周長(zhǎng)最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)并寫出△POM周長(zhǎng)的最小值；
（3）設(shè)該拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為C，點(diǎn)G在射線MB上，過點(diǎn)G作線段CG的垂線交y軸于H，連結(jié)CH．若∠GCH=30°，求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把A代入y=x²-2x+c求得c，根據(jù)解析式求得D點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸，然后根據(jù)直線解析式求得M點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得DM的長(zhǎng)，依據(jù)面積公式求得．
（2）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，作直線BC，由幾何知識(shí)可知，PA+PC=PB+PC為最小，然后根據(jù)勾股定理求得．
（3）過G點(diǎn)作GN⊥OC于N，GQ⊥OM于Q，通過三角形相似求得QG：NG=HG：CG，根據(jù)已知∠GCH=30°，利用三角函數(shù)表示出G點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的比值，從而求得點(diǎn)G的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-2x+c過點(diǎn)A（3，0），
∴0=3²-2×3+c，
解得：c=-3；
∴解析式為y=x²-2x-3，D（0，-3）；
∵直線y=-

3

2

x-1交y軸于點(diǎn)M，
∴M（0，-1），拋物線的對(duì)稱軸為：x=1，
OD=3，OM=1，
∴DM=2，
∴S_△DBM=

1

2

DM×1=

1

2

×2×1=1；

（2）如圖，在X軸上截取CN=OC，連接MN，交對(duì)稱軸于P點(diǎn)；

∴N（2，0），
∵M(jìn)（0，-1），
∴直線MN解析式：y=

1

2

x-1，
當(dāng)x=1時(shí)，y=-

1

2

；
∴P（1，-

1

2

），
∴由幾何知識(shí)可知，PM+PN=PM+PO為最小，
在RT△POC中
PO=

OC2+PC2

=

5

2

；
∴PM=

5

2

；
∴△POM周長(zhǎng)的最小值；1+

5

；

（3）如圖過G點(diǎn)作GN⊥OC于N，GQ⊥OM于Q，

∵∠CGN=∠QGH，
∴△QGH∽△NGC，
∴QG：NG=HG：CG，
∵∠GCH=30°，
∴

HG

CG

=tan30°=

3

3

，
設(shè)G（x，-

3

2

x-1），
∴（

3

2

x+1）：x=

3

，
解得：x=

2 3

3

，
∴y=-

3

2

x-1=-2，
∴G（

2 3

3

，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線的頂點(diǎn)式以及三角形相似的性質(zhì)，利用三角函數(shù)解直角三角形等．