試題分析:(1)作CQ⊥x軸,根據(jù)正方形的性質可得AB=BC,∠ABC=90°,即有∠CBQ=∠OAB,從而可以證得△AOB≌△BQC,即得CQ=OB,BQ=OA,再結合A(0,3),B(1,0)求解即可;
(2)由P是正方形的對稱中心可求得點P的坐標,即可得到∠MOB、∠AON的度數(shù),再根據(jù)路程、速度、時間的關系表示出OR、OH的長,即可得到RH∥y軸,即R、H的橫坐標相同,根據(jù)平行線的性質可得∠DMR=∠ANO,若△ANO與△DMR相似,則∠MDR=∠AON=45°或∠DRM=∠AON=45°,從而可以求得結果;
(3)①由R速度為
,H速度為1,且∠ROH=45°可得tan∠ROH=1,根據(jù)RH始終垂直于x軸可得RH=OH=t, 設△HCR的邊RH的高為h,再分0<t≤4與t>4兩種情況根據(jù)三角形的面積公式求解;
②以A、B、C、R為頂點的梯形,有三種可能:Ⅰ.頂邊和底邊分別為BC、AR,此時BC∥AR;Ⅱ.頂邊、底邊分別為CR、AB,此時CR∥AB,且R與M重合;Ⅲ.當AC和BR是梯形的底時,根據(jù)梯形的性質及一次函數(shù)的性質求解即可.
(1)作CQ⊥x軸,
∵正方形ABCD,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠CBQ=∠OAB,
∴△AOB≌△BQC,
∴CQ=OB,BQ=OA,
∵A(0,3),B(1,0),
∴BQ=3,CQ=1,
∴OQ=4,
∴C(4,1);
(2)∵P是正方形的對稱中心,由A(0,3),C(4,1),
∴P(2,2);
∴∠MOB=45°,
∴∠AON=45°,
∵點R從O出發(fā)沿OM方向以
個單位,每秒速度運動,運動時間為t,
∴OR=
t,OH=t.
∴RH∥y軸,即R、H的橫坐標相同;
∵AB∥CD,
∴∠DMR=∠ANO,
若△ANO與△DMR相似,則∠MDR=∠AON=45°或∠DRM=∠AON=45°,
①當∠MDR=45°時,R、P重合,∵R(2,2),∴t=2;
②當∠DRM=45°時,DR∥y軸,∵D(3,4),∴R(3,3),∴t=3,
∴當t=2或t=3時,△ANO與△DMR相似;
(3)①∵R速度為
,H速度為1,且∠ROH=45°,
∴tan∠ROH=1,
∴RH始終垂直于x軸,
∴RH=OH=t,
設△HCR的邊RH的高為h,
∴h=|4-t|.
∴S
△HCR=
h•t=
|-t
2+4t|,
∴S=-
t
2+2t(0<t≤4);S=
t
2-2t(t>4);
②以A、B、C、R為頂點的梯形,有三種可能:
Ⅰ.頂邊和底邊分別為BC、AR,此時BC∥AR.
如圖,延長AD,使其與OM相交于點R,
∴AD的斜率=tan∠BAO=
,
∴直線AD為:y=
+3.
∴R坐標為(4.5,4.5),
∴此時四邊形ABCR為梯形,
∴t=4.5.S=
;
Ⅱ.頂邊、底邊分別為CR、AB,此時CR∥AB,且R與M重合.
∴CD的斜率=-3,且直線CD過點C,
∴直線CD為:y-1=-3•(x-4)
∴y=-3x+13,
∵OM與CD交于點M(即R),
∴M為(
,
),
∴此時四邊形ABCR為梯形,
∴t=
.S=
Ⅲ.當AC和BR是梯形的底時,設AC的解析式是y=kx+b,
則
,解得
,
則解析式是y=-x+4,
設BC的解析式是y=-x+c,
則-1+c=0,解得c=1,
則函數(shù)的解析式是y=-x+1,
∴R坐標(
,
)
∴t=
,S=
.
點評:此類問題綜合性強,難度較大,在中考中比較常見,一般作為壓軸題,題目比較典型.