Question

已知一元二次方程x²+px+q+2=0的一根為3．
（1）求q關(guān)于p的關(guān)系式；
（2）求證：拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個交點；
（3）設(shè)拋物線y=x²+px+q與x軸相交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，且x₁+x₂-5x₁x₂+1=0，求拋物線的解析式．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：計算題

分析：（1）由一元二次方程的一根為3，將x=3代入方程得到p與q的關(guān)系式；
（2）表示出方程根的判別式，將（1）得出關(guān)系式代入，配方后根據(jù)完全平方式大于等于0即可得證；
（3）利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，代入已知等式得到關(guān)系式，與（1）的關(guān)系式聯(lián)立求出p與q的值，即可確定出拋物線解析式．

解答：（1）解：把x=3代入得3²+3p+q+2=0，
∴q=-3p-11；           
（2）證明：∵一元二次方程x²+px+q=0的判別式△=p²-4q，
由（1）得q=-3p-11，
∴△=p²+4（3p+11）=p²+12p+44=（p+6）²+8＞0，
∴一元二次方程x²+px+q=0有兩個不相等的實根，
∴拋物線y=x²+px+q與x軸有兩個交點；        
（3）解：∵x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩個根，
∴x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，
∵x₁+x₂-5x₁x₂+1=0，
∴-p-5q+1=0，
由（1）得q=-3p-11，
解得

p=-4 q=1

，
∴拋物線的解析式為y=x²-4x+1．

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，根與系數(shù)的關(guān)系式，以及根的判別式，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．