Question

關(guān)于x的一元二次方程x²+2kx+k-1=0
（1）求證：方程x²+2kx+k-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程x²+2kx+k-1=0有且只有一個(gè)根的絕對(duì)值小于2，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：（1）先計(jì)算判別式得到△=（2k）²-4（k-1），再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△＞0，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)得到拋物線y=x²+2kx+k-1與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，且拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（-2，0）和點(diǎn)（2，0）之間，則x=-2時(shí)，y＜0，即4-4k+k-1＜0；x=2時(shí)，4+4k+k-1＞0；然后求出三個(gè)不等式解的公共部分即可．

解答：解：（1）△=（2k）²-4（k-1）=（2k-1）²+3，
∵（2k-1）²≥0，
∴（2k-1）²+3＞0，
∴方程x²+2kx+k-1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．

（2）∵方程x²+2kx+k-1=0有且只有一個(gè)根的絕對(duì)值小于2，
∴拋物線y=x²+2kx+k-1與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，且拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（-2，0）和點(diǎn)（2，0）之間，
x=-2時(shí)，y＜0，即4-4k+k-1＜0，解得k＞1，
x=2時(shí)，y＞0，即4+4k+k-1＞0，解得k＞-

3

5

，
拋物線y=x²+2kx+k-1與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，且拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在（-2，0）和點(diǎn)（2，0）之間，
x=-2時(shí)，y＜0，即4-4k+k-1＞0，解得k＜1，
x=2時(shí)，y＞0，即4+4k+k-1＜0，解得k＜-

3

5

，
∴k的范圍為k＞1或k＜-

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查根的判別式與一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系，以及配方法的運(yùn)用與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，理解題意，正確利用函數(shù)解決問題．