Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，且OC=OB．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時點E的坐標(biāo)；
（3）點P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應(yīng)點A′恰好也落在此拋物線上，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），

∴OB=3，

∵OC=OB，

∴OC=3，

∴c=3，

∴ ，

解得： ，

∴所求拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3；

（2）解：如圖2，過點E作EF⊥x軸于點F，

設(shè)E（a，﹣a2﹣2a+3）（﹣3＜a＜0），

∴EF=﹣a2﹣2a+3，BF=a+3，OF=﹣a，

∴S四邊形BOCE= BFEF+ （OC+EF）OF，

= （a+3）（﹣a2﹣2a+3）+ （﹣a2﹣2a+6）（﹣a），

=﹣ ﹣ a+ ，

=﹣ （a+ ）2+ ，

∴當(dāng)a=﹣ 時，S四邊形BOCE最大，且最大值為 ．

此時，點E坐標(biāo)為（﹣ ， ）；

（3）解：∵拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為x=﹣1，點P在拋物線的對稱軸上，

∴設(shè)P（﹣1，m），

∵線段PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應(yīng)點A′恰好也落在此拋物線上，

①當(dāng)m≥0時，

∴PA=PA1，∠APA1=90°，

如圖3，過A1作A1N⊥對稱軸于N，

設(shè)對稱軸于x軸交于點M，

∴∠NPA1+∠MPA=∠NA1P+∠NPA1=90°，

∴∠NA1P=∠NPA，

在△A1NP與△PMA中，

，

∴△A1NP≌△PMA，

∴A1N=PM=m，PN=AM=2，

∴A1（m﹣1，m+2），

代入y=﹣x2﹣2x+3得：m+2=﹣（m﹣1）2﹣2（m﹣1）+3，

解得：m=1，m=﹣2（舍去），

②當(dāng)m＜0時，要使P2A=P2A，2，由圖可知A2點與B點重合，

∵∠AP2A2=90°，∴MP2=MA=2，

∴P2（﹣1，﹣2），

∴滿足條件的點P的坐標(biāo)為P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．

【解析】（1）已知拋物線過A、B兩點，可將兩點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進行計算，過E作EF⊥x軸于F，四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積．直角梯形FOCE中，F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對值，EF為E的縱坐標(biāo)，已知C的縱坐標(biāo)，就知道了OC的長．在三角形BFE中，F(xiàn)=BO﹣OF，因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長．如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標(biāo)，然后代入上面的線段中，即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時E的坐標(biāo)；（3）由P在拋物線的對稱軸上，設(shè)出P坐標(biāo)為（﹣1，m），如圖所示，過A′作A′N⊥對稱軸于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到一對邊相等，再由同角的余角相等得到一對角相等，根據(jù)一對直角相等，利用AAS得到△A′NP≌△PMA，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐標(biāo)，將A′坐標(biāo)代入拋物線解析式中求出相應(yīng)m的值，即可確定出P的坐標(biāo)．