Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，點(diǎn)D是腰AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過C作CE垂直于BD的延長(zhǎng)線，垂足為E．
（1）若BD是AC邊上的中線，如圖1，求

BD

CE

的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分線，如圖2，求

BD

CE

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1））根據(jù)∠A=∠E=90°，∠ADB=∠EDC可知△ADB∽△EDC，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可知

AD

AB

=

DE

CE

，由BD是AC的中線，AB=AC，可知AB=2AD，在Rt△ADB中，根據(jù)勾股定理可知BD=

5

AD，在Rt△CDE中，CE²+DE²=CD²故可得出結(jié)論；
（2）延長(zhǎng)CE、BA相交于點(diǎn)F，由全等三角形的判定定理可知△BEC≌△BEF，故可得出CE=EF，
再由∠ABD+∠ADB=∠CDE+∠ACF=90°，且∠ADB=∠CDE，由ASA定理可知△ABD≌△ACF，故BD=CF，BD=2CE，由此即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵∠A=∠E=90°，∠ADB=∠EDC
∴△ADB∽△EDC，
∴

AD

AB

=

DE

CE

∵BD是AC的中線，AB=AC，
∴AB=2AD
∴在Rt△ADB中，
BD=

AB2+AD2

=

4AD2+AD2

=

5

AD，
在Rt△CDE中，
由CE²+DE²=CD²，得CE²+

1

4

CE²=CD²
∴CE=

2

5

CD=

2

5

AD，
∴

BD

CE

=

5 AD

2 5 AD

=

5

2

；

（2）如圖3，延長(zhǎng)CE、BA相交于點(diǎn)F
∵BE是∠ABC的角平分線，且BE⊥CF
∴

EF=CE ∠BEF=∠BEC BE=BE

，
∴△BEC≌△BEF，
∴CE=EF，
∴CF=2CE
又∵∠ABD+∠ADB=∠CDE+∠ACF=90°，
且∠ADB=∠CDE，
∴∠ABD=∠ACF
∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，
∴

∠ABD=∠ACF AB=AC ∠BAD=∠CAF

，
∴△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∴BD=2CE，
∴

BD

CE

=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及到全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，難度適中．