Question

如圖，AB∥CD，BC∥AD，BE、CE分別是∠ABC、∠BCD的平分線，F(xiàn)是BE的中點．
（1）試判斷△ABE與△BEC的形狀，請說明理由．
（2）試說明AF∥CE的理由．

Answer 1

考點：平行線的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：計算題

分析：（1）△ABE為等腰三角形，△BEC為直角三角形，理由為：由BE為角平分線得到一對角相等，由AD與BC平行得到一對內(nèi)錯角相等，等量代換得到∠ABE=∠AEB，利用等角對等邊得到AB=AE，即三角形ABE為等腰三角形；由AB與CD平行，得到一對同旁內(nèi)角互補，由BE與CE都為角平分線，利用等式的性質(zhì)得到∠EBC+∠ECB=90°，即∠BEC=90°，即三角形BEC為直角三角形；
（2）由直角相等得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行即可得證．

解答：解：（1）△ABE為等腰三角形，△BEC為直角三角形，理由為：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=

1

2

∠ABC，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴△ABE為等腰三角形；
∵CE平分∠DCB，BE平分∠ABC，
∴∠ECB=

1

2

∠BCD，∠CBE=

1

2

∠ABC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC為直角三角形；
（2）∵AB=AE，F(xiàn)是中點，
∴AF⊥BE，且CE⊥BE，
∴∠AFE=∠CEF=90°，
∴AF∥CE．

點評：此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．