Question

如圖，E是正方形ABCD對角線BD上一點，EM⊥BC，EN⊥CD垂足分別是求M、N．求證：AE=MN．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：根據(jù)題意我們不難得出四邊形NEMC是個矩形，因此它的對角線相等．如果連接EC，那么EC=MN，要證明AE=MN，只要證明EC=AE即可．證明AE=EC就要通過全等三角形來實現(xiàn)．三角形ABE和CBE中，有∠ABD=∠CBD，有AB=BC，有一組公共邊BE，因此構(gòu)成了全等三角形判定中的SAS，因此兩三角形全等，得AE=EC，即AE=MN．

解答：解：連接EC．

∵四邊形ABCD是正方形，EM⊥BC，EN⊥CD，
∴∠NCM=∠CME=∠CNE=90°，
∴四邊形EMCN為矩形．
∴MN=CE．
又∵BD為正方形ABCD的對角線，
∴∠ABE=∠CBE．
在△ABE和△CBE中

AB=CB ∠ABE=∠CBE BE=BE

∴△ABE≌△CBE（SAS）．
∴AE=EC．
∴AE=MN．

點評：本題考查了全等三角形的判定，正方形和矩形的性質(zhì)等知識點，通過構(gòu)建全等三角形來證明簡單的線段相等是解此類題的常用方法．