Question

如圖①，長方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E為CD的中點(diǎn)．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿A-B-C的方向在長方形邊上勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)停止．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts．（圖②③為備用圖）

（1）當(dāng)P在AB上，t為何值時(shí)，△APE的面積為長方形面積的

1

3

？
（2）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，t為何值時(shí)，△APE為直角三角形？
（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，t為何值時(shí)，△APE為等腰三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)t秒后，△APE的面積為長方形面積的

1

3

，根據(jù)題意得：△APE的面積=

1

2

AP•AD=

1

2

t×4=

4×6

3

，從而求得t值；
（2）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AB中點(diǎn)時(shí)AEP為直角三角形，此時(shí)角APE為直角，t=3；還有一種情況，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到BC上時(shí)，角AEP為直角時(shí)利用相似三角形求得AP的長即可求得t值；
（3））第一種情況，當(dāng)P在AE垂直平分線上時(shí)，AP=EP；第二種情況，P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B上時(shí)APE為等腰三角形，此時(shí)AE=EP，t=6；第三種情況，P在AB上，AP=PE；

解答：解：（1）設(shè)t秒后，△APE的面積為長方形面積的

1

3

，
根據(jù)題意得：AP=t，
∴△APE的面積=

1

2

AP•AD=

1

2

t×4=

4×6

3

，
解得：t=4，
∴4秒后，△APE的面積為長方形面積的

1

3

；

（2）顯然當(dāng)t=3時(shí)，PE⊥AB，
∴△APE是直角三角形，
當(dāng)P在BC上時(shí)，△ADE∽△ECP，
此時(shí)

CP

DE

=

CE

AD

，
解得：CP=

9

4

，
∴PB=BC-PC=4-

9

4

=

7

4

，
∴t=6+

7

4

=

31

4

；
（3）①當(dāng)P在AE垂直平分線上時(shí)，AP=EP，
過P作PQ⊥AE于Q，∵AD=4，DE=3，
∴AE=5，
∴AQ=2.5，
由△AQP∽△EDA，得：

AP

AE

=

AQ

DE

，
即：

AP

5

=

2.5

3

，
解得：AP=

25

6

，
∴t=

25

6

；
．
②當(dāng)EA=EB時(shí)，AP=6，
∴t=6，
③當(dāng)AE=AP時(shí)，
∴t=5．
∴當(dāng)t=

25

6

、5、6時(shí)，△APE是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合知識(shí)和動(dòng)點(diǎn)問題，動(dòng)點(diǎn)問題更是中考中的熱點(diǎn)考題，有一定的難度，解題的關(guān)鍵是能夠化動(dòng)為靜，利用等腰三角形的性質(zhì)求解．