Question

如圖，三角板ABC中，∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，三角板ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A₁B₁C，求：
（1）

AA1

的長；
（2）在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中三角板AC邊所掃過的扇形ACA₁的面積；
（3）在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中三角板所掃過的圖形面積．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),勾股定理,扇形面積的計(jì)算

專題：

分析：（1）由三角板ABC中，∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，可求得BC的長，繼而求得AC的長，然后利用弧長公式，即可求得

AA1

的長；
（2）直接利用扇形的面積公式求解即可求得答案；
（3）由三角板所掃過的圖形面積=S_扇形BCD+S_扇形ACA1+S_△ACD，即可求得答案．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AB=2，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB=

1

2

×2=1，
根據(jù)勾股定理，AC=

AB2-BC2

=

22-12

=

3

，
∴

AA1

的長=

90•π• 3

180

=

3

2

π；

（2）扇形ACA₁的面積=

90•π•( 3 )2

360

=

3

4

π；

（3）設(shè)

BB1

與AB相交于D，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
又∵BC=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BD=BC=1，
∴AD=AB-BD=2-1=1，
∴S_△ACD=

1

2

S_△ABC=

1

2

×

1

2

×1×

3

=

3

4

，
∴三角板所掃過的圖形面積=S_扇形BCD+S_扇形ACA1+S_△ACD
=

60•π•12

360

+

90•π•( 3 )2

360

+

3

4

=

11

12

π+

3

4

．

點(diǎn)評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形的面積公式以及弧長公式等知識．此題難度適中，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．