Question

【題目】四邊形ABCD為菱形，點P為對角線BD上的一個動點.

（1）如圖1，連接AP并延長交BC的延長線于點E，連接 PC，求證：∠AEB=∠PCD.

（2）如圖1，當PA=PD且PC⊥BE時，求∠ABC的度數.

（3）連接AP并延長交射線BC于點E，連接 PC，若∠ABC=90°且ΔPCE是等腰三角形，求得∠PEC的度數 （第（3）問 直接寫出結果，不寫過程）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）60°；（3）30°或120°

【解析】試題分析：（1）利用菱形的性質，易得∠PDA=∠PDC，AD=CD，利用SAS定理證得△PAD≌△PCD，由全等三角形的性質及平行線的性質得到結論；

（2）首先利用等腰三角形的性質得∠PAD=∠PDA，設∠PAD=∠PDA=x，利用外角性質易得∠BPC=2x，因為PC⊥BE，得x，得∠ABC的度數；

（3）分類討論：①當點E在BC的延長線上時，首先利用等腰三角形的性質得CP=CE，易得∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP，由正方形的性質得∠PBA=∠PBC=45°，由全等三角形的判定得△ABP≌△CBP，易得∠BAP=∠BCP=2∠CEP，因為∠BAP+∠PEC=90°，求得∠PEC的度數；②當點E在BC上時，同理得出結論．

試題解析：(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠PDA=∠PDC,AD=CDAD∥BC，

在△PAD與△PCD中，

，

∴△PAD≌△PCD(SAS)，

∴∠PAD=∠PCD，

又∵AD∥BC，

∴∠AEB=∠PAD=∠PCD；

(2)如圖1，

∵PA=PD,

∴∠PAD=∠PDA，

設∠PAD=∠PDA=x，則∠BPC=∠PDC+∠PCD=∠PDA+∠PAD=2x，

∵PC⊥BE，

∴2x+x=90°，

∴x=30°，

∴∠ABC=2x=60°；

(3)①當點E在BC的延長線上時,如圖2,

△PCE是等腰三角形,則CP=CE,

∴∠BCP=∠CPE+∠CEP=2∠CEP

∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴∠PBA=∠PBC=45°，

在△ABP與△CBP中，

，

∴△ABP≌△CBP(SAS)，

∴∠BAP=∠BCP=2∠CEP，

∵∠BAP+∠PEC=90°,2∠PEC+∠PEC=90°，

∴∠PEC=30°；

②當點E在BC上時，如圖3，

△PCE是等腰三角形，則PE=CE，

∴∠BEP=∠CPE+∠PCE=2∠ECP，

∵四邊形ABCD是菱形,∠ABC=90°

∴菱形ABCD是正方形，

∴∠PBA=∠PBC=45°，又AB=BC，BP=BP，

∴△ABP≌△CBP，

∴∠BAP=∠BCP，

∵∠BAP+∠AEB=90°,2∠BCP+∠BCP=90°，

∴∠BCP=30°，

∴∠AEB=60°，

∴∠PEC=180°∠AEB=120°，

綜上所述：∠PEC=30°或∠PEC=120°.