Question

（本題12分）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，對角線AC與BD相交于點O，線段OA，OB的中點分別為E，F(xiàn)．

（1）（4分）求證：△FOE≌△DOC；

（2）（4分）求sin∠OEF的值；

（3）（4分）若直線EF與線段AD，BC分別相交于點G，H，求的值．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由EF是△OAB的中位線，利用中位線定理，得EF∥AB，EF=AB，又CD∥AB，CD=AB，可得EF=CD，由平行線的性質可證△FOE≌△DOC；

（2）由平行線的性質可知∠OEF=∠CAB，利用sin∠OEF=sin∠CAB=，由勾股定理得出AC與BC的關系，再求正弦值；

（3）由（1）可知AE=OE=OC，EF∥CD，則△AEG∽△ACD，利用相似比可得EG=CD，同理得FH=CD，又AB=2CD，代入中求值．

解答：（1）證明：∵EF是△OAB的中位線，∴EF∥AB，EF=AB，

而CD∥AB，CD=AB，∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，∴△FOE≌△DOC；

（2）【解析】
∵EF∥AB，

∴∠OEF=∠CAB，

∵在Rt△ABC中，AC=，

∴sin∠OEF=sin∠CAB==；

（3）【解析】
∵AE=OE=OC，EF∥CD，∴△AEG∽△ACD，∴，即EG=CD，

同理FH=CD，

∴．

考點：1．相似三角形的判定與性質；2．全等三角形的判定與性質；3．三角形中位線定理．