【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù) (m為常數(shù))的圖象與x軸交于點(diǎn)A(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)C.以直線x=1為對(duì)稱軸的拋物線y=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),且a≠0)經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn),并與x軸的正半軸交于點(diǎn)B.
(1)求m的值及拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作直線AC的平行線交x軸于點(diǎn)F.是否存在這樣的點(diǎn)E,使得以A,C,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo)及相應(yīng)的平行四邊形的面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若P是拋物線對(duì)稱軸上使△ACP的周長(zhǎng)取得最小值的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P任意作一條與y軸不平行的直線交拋物線于M1(x1 , y1),M2(x2 , y2)兩點(diǎn),試探究 是否為定值,并寫(xiě)出探究過(guò)程.
【答案】
(1)解:∵ 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣3,0),
∴0= +m,解得m= ,
∴直線解析式為 ,C(0, ).
∵拋物線y=ax2+bx+c對(duì)稱軸為x=1,且與x軸交于A(﹣3,0),
∴另一交點(diǎn)為B(5,0),
設(shè)拋物線解析式為y=a(x+3)(x﹣5),
∵拋物線經(jīng)過(guò)C(0, ),
∴ =a3(﹣5),解得a= ,
∴拋物線解析式為y= x2+ x+
(2)解:假設(shè)存在點(diǎn)E使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,
則AC∥EF且AC=EF.如答圖1,
(i)當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E位置時(shí),過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G,
∵AC∥EF,∴∠CAO=∠EFG,
又∵ ,
∴△CAO≌△EFG,
∴EG=CO= ,即yE= ,
∴ = xE2+ xE+ ,解得xE=2(xE=0與C點(diǎn)重合,舍去),
∴E(2, ),SACEF= ;
(ii)當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)E′位置時(shí),過(guò)點(diǎn)E′作E′G′⊥x軸于點(diǎn)G′,
同理可求得E′( +1, ),SACF′E′=
(3)解:要使△ACP的周長(zhǎng)最小,只需AP+CP最小即可.
如答圖2,連接BC交x=1于P點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)A、B關(guān)于x=1對(duì)稱,根據(jù)軸對(duì)稱性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短,可知此時(shí)AP+CP最。ˋP+CP最小值為線段BC的長(zhǎng)度).
∵B(5,0),C(0, ),
∴直線BC解析式為y= x+ ,
∵xP=1,∴yP=3,即P(1,3).
令經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,3)的直線為y=kx+b,則k+b=3,即b=3﹣k,
則直線的解析式是:y=kx+3﹣k,
∵y=kx+3﹣k,y= x2+ x+ ,
聯(lián)立化簡(jiǎn)得:x2+(4k﹣2)x﹣4k﹣3=0,
∴x1+x2=2﹣4k,x1x2=﹣4k﹣3.
∵y1=kx1+3﹣k,y2=kx2+3﹣k,
∴y1﹣y2=k(x1﹣x2).
根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到:
M1M2= = =
∴M1M2= = =4(1+k2).
又M1P= = = ;
同理M2P=
∴M1PM2P=(1+k2) =(1+k2) =(1+k2) =4(1+k2).
∴M1PM2P=M1M2,
∴ =1為定值.
【解析】(1)首先求得m的值和直線的解析式,根據(jù)拋物線對(duì)稱性得到B點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)A、B點(diǎn)坐標(biāo)利用交點(diǎn)式求得拋物線的解析式;(2)存在點(diǎn)E使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.如答圖1所示,過(guò)點(diǎn)E作EG⊥x軸于點(diǎn)G,構(gòu)造全等三角形,利用全等三角形和平行四邊形的性質(zhì)求得E點(diǎn)坐標(biāo)和平行四邊形的面積.注意:符合要求的E點(diǎn)有兩個(gè),如答圖1所示,不要漏解;(3)本問(wèn)較為復(fù)雜,如答圖2所示,分幾個(gè)步驟解決:
第1步:確定何時(shí)△ACP的周長(zhǎng)最小.利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和兩點(diǎn)之間線段最短的原理解決;
第2步:確定P點(diǎn)坐標(biāo)P(1,3),從而直線M1M2的解析式可以表示為y=kx+3﹣k;
第3步:利用根與系數(shù)關(guān)系求得M1、M2兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系,得到x1+x2=2﹣4k,x1x2=﹣4k﹣3.這一步是為了后續(xù)的復(fù)雜計(jì)算做準(zhǔn)備;
第4步:利用兩點(diǎn)間的距離公式,分別求得線段M1M2、M1P和M2P的長(zhǎng)度,相互比較即可得到結(jié)論: =1為定值.這一步涉及大量的運(yùn)算,注意不要出錯(cuò),否則難以得出最后的結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小).
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【題目】如圖,已知AB=AD,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無(wú)法判定△ABC≌△ADC的是( 。
A. CB=CD B. ∠BAC=∠DAC C. ∠BCA=∠DCA D. ∠B=∠D=90°
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【題目】如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,AB=24cm,DC=10cm,點(diǎn)P和Q同時(shí)從D、B出發(fā),P由D向C運(yùn)動(dòng),速度為每秒1cm,點(diǎn)Q由B向A運(yùn)動(dòng),速度為每秒3cm,試求幾秒后,P、Q和梯形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)所形成的四邊形是平行四邊形?
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【題目】我們知道:點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,如圖A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為AB,記作AB=|a﹣b|.回答下列問(wèn)題:
(1)數(shù)軸上表示2和5兩點(diǎn)之間的距離是 ,數(shù)軸上表示1和﹣3的兩點(diǎn)之間的距離是 ;
(2)已知|a﹣3|=7,則有理數(shù)a= ;
(3)若數(shù)軸上表示數(shù)b的點(diǎn)位于﹣4與3的兩點(diǎn)之間,則|b﹣3|+|b+4|= .
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【題目】已知二次函數(shù) 的圖象過(guò)(0,-6)、(1,0)和(-2,-6)三點(diǎn).
(1)求二次函數(shù)解析式;
(2)求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)A(m-2n,-8mn-10)在此二次函數(shù)圖象上,求m、n的值.
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【題目】如圖1是立方體和長(zhǎng)方體模型,立方體棱長(zhǎng)和長(zhǎng)方體底面各邊長(zhǎng)都為1,長(zhǎng)方體側(cè)棱長(zhǎng)為2,現(xiàn)用60張長(zhǎng)為6寬為4的長(zhǎng)方形卡紙,剪出這兩種模型的表面展開(kāi)圖,有兩種方法:
方法一:如圖2,每張卡紙剪出3個(gè)立方體表面展開(kāi)圖;
方法二:如圖3,每張卡紙剪出2個(gè)長(zhǎng)方體表面展開(kāi)圖(圖中只畫(huà)出1個(gè)).
設(shè)用x張卡紙做立方體,其余卡紙做長(zhǎng)方體,共做兩種模型y個(gè).
(1)在圖3中畫(huà)出第二個(gè)長(zhǎng)方體表面展開(kāi)圖,用陰影表示;
(2)寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(3)設(shè)每只模型(包括立方體和長(zhǎng)方體)平均獲利為w(元),w滿足函數(shù) ,若想將模型作為教具賣出,且制作的長(zhǎng)方體的個(gè)數(shù)不超過(guò)立方體的個(gè)數(shù),則應(yīng)該制作立方體和長(zhǎng)方體各多少個(gè),使獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?
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【題目】圖a是一個(gè)長(zhǎng)為、寬為的長(zhǎng)方形(其中>), 沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形, 然后按圖的形狀拼成一個(gè)正方形,
(1)①請(qǐng)你用兩種不同的方法表示圖中的陰影部分的面積 ; ;
②請(qǐng)寫(xiě)出代數(shù)式:,,之間的關(guān)系: ;
(2)若,求:的值;
(3)已知,求: 的值.
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【題目】如圖,大樓AB高16m,遠(yuǎn)處有一塔CD,某人在樓底B處測(cè)得塔頂C的仰角為39°,在樓頂A處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?2°,求塔高CD的高.(結(jié)果保留小數(shù)后一位)
參考數(shù)據(jù):sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,si39°≈0.63,cos39°≈0.78,tan39°≈0.81.
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