Question

如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為H，點P是弧AC上的一點（點P不與A，C重合），連結(jié)PC，PD，PA，AD，點E在AP的延長線上，PD與AB交于點F．給出下列四個結(jié)論：
①CH²=AH•BH；②弧BC=弧BD；③△ADP∽△FDA；④∠ADC=∠APD．
其中正確的有（　　）

• A、①②③
• B、①②④
• C、②③④
• D、①③④

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理

專題：

分析：連接AC和BC，根據(jù)垂徑定理求出DH=CH，推出AC=AD，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形性質(zhì)求出∠APD=∠ACD=∠ADC，即可推出答案．

解答：解：連接BC，AC，
∵AB⊥CD，AB是直徑，
∴CH=DH，弧BC=弧BD，∠AHC=∠AHD=90°，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACD，
∵∠APD=∠ACD，
∴∠ADC=∠APD，
∵∠DAB=∠BCD，∠AHD=∠CHB，
∴△DAH∽△BCH，
∴

AH

CH

=

DH

BH

，
∴CH•DH=AH•BH，
∴CH²=AH•BH，
∴①②④正確；
∵∠APD和∠BAD根據(jù)已知不能推出相等，
∴△ADP和△ADF相似是錯誤的，∴③錯誤；
故選B．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查了學生的推理能力，題目比較好，難度適中．