Question

【題目】如圖，矩形的邊，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線移動(dòng)，以為直徑作圓，點(diǎn)為圓與射線的公共點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，與圓相交于點(diǎn)， 連接．

（1）試說(shuō)明四邊形是矩形；

（2）當(dāng)圓與射線相切時(shí)，點(diǎn)停止移動(dòng)，在點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中:

①矩形的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出這個(gè)最大值或最小值；若不存在，說(shuō)明理由；

②求點(diǎn)移動(dòng)路線的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）①最小值為；最大值為2；②cm．

【解析】

試題（1）只要證得三個(gè)內(nèi)角等于90°即可；

（2）①應(yīng)用三角函數(shù)可得，所以，然后只需求出CF的范圍就可以求出的范圍；

②根據(jù)圓周角定理和矩形的性質(zhì)可證得∠GDC=∠FDE=定值，從而得到點(diǎn)G的移動(dòng)的路線是線段，只需找到點(diǎn)G的起點(diǎn)和終點(diǎn)，求出該線段的長(zhǎng)度即可．

試題解析：（1）∵CE是⊙O的直徑，點(diǎn)F、G在⊙O上，∴∠EFC=∠EGC=90°，

又∵EG⊥EF，∴∠FEG=90°，∴四邊形EFCG是矩形；

（2）①∵四邊形EFCG是矩形，∴∠BCD=90°，∴，

∵∠CEF=∠BDC，∴=，即，∴，

∴，

∵當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)，CF=BC=4；

當(dāng)⊙O與射線BD相切時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)D重合，

此時(shí)CF=CD=3；

當(dāng)CF⊥BD時(shí)，，

∴，

∴當(dāng)CF=cm時(shí)，取得最小值為，

當(dāng)CF=4cm時(shí)，取得最大值為2．

②如答圖4，連接DG，并延長(zhǎng)DG交BC得延長(zhǎng)線與點(diǎn)G’．

∵∠BDG=∠FEG=90°，又∵∠DCG’=90°，∴點(diǎn)G得移動(dòng)路線為線段DG’,

∵CD=3cm，∴CG’=，∴DG’=（cm）．