Question

平面直角坐標(biāo)第xoy中，A點的坐標(biāo)為（0，5）．B、C分別是x軸、y軸上的兩個動點，C從A出發(fā)，沿y軸負半軸方向以1個單位/秒的速度向點O運動，點B從O出發(fā)，沿x軸正半軸方向以1個單位/秒的速度運動．設(shè)運動時間為t秒，點D是線段OB上一點，且BD=OC．點E是第一象限內(nèi)一點，且AEDB．

（1）當(dāng)t=4秒時，求過E、D、B三點的拋物線解析式．

（2）當(dāng)0＜t＜5時，（如圖甲），∠ECB的大小是否隨著C、B的變化而變化？如果不變，求出它的大小．

（3）求證：∠APC=45°

（4）當(dāng)t＞5時，（如圖乙）∠APC的大小還是45°嗎？請說明理由．

 

 

Answer 1

（1）；（2）∠ECB的大小不變．90°；（3）證明見解析；（4）∠APC＞45°．

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)t=4時，知AC=OB=4，進而知OC=1，由BD=OC,AE∥DB，AE=BD可求AE=DB=OC=1,點E、點D、點B的坐標(biāo)即可確定。再設(shè)出拋物線的解析式y(tǒng)=ax2+bx+c，將三點坐標(biāo)代入即可求出a、b、c的值；

（2）連接CE，可證∠ECB=90°;

（3）由（2）可知：△ECB是等腰直角三角形，繼而可證四邊形ADBE是平行四邊形，從而∠APC=∠EBC=45°；

（4）如圖，在第二象限取點F，作AF∥BD，AF=BD，連接CF、BF．易得Rt△ACF≌Rt△OBC，再證△BCF是等腰直角三角形，由三角形的一個外角大于與它不相鄰的內(nèi)角知∠APC＞45°．

（1）當(dāng)t=4秒時，AC=OB=4，由A（0，5）得C（0，1），即OC=1．

又BD=OC，AE DB，

∴AE=DB=OC=1．

∴E（1，5）B（4，0），D（3，0）．

設(shè)過E、D、B三點的拋物線解析式為y=ax2+bx+c ，則有

,解得：；

∴拋物線解析式為；

（2）（2）∠ECB的大小不變。

連接CE。易得Rt△ACE≌Rt△OBC（SAS）

∴CE=CB，∠ACE=∠OBC，∠AEC=∠OCB．

又∠ACE+∠AEC=90°，

∴∠ACE+∠OCB=90°

，∴∠ECB=90°．

（3）由（2）知，CE=CB，∠ECB=90°，

∴△ECB是等腰直角三角形．

∴∠EBC=45°，

又AEDB，

∴四邊形ADBE是平行四邊形．

∴AB∥EB．

∴∠APC=∠EBC=45°．

（4）當(dāng)t＞5時，∠APC＞45°，理由如下：

如圖，在第二象限取點F，作AFBD，連接CF、BF．

易得Rt△ACF≌Rt△OBC（SAS）

∴CF=CB，∠1=∠2．

又∠1+∠3=90°�！唷�2+∠3=90°即△BCF是等腰直角三角形．

∴∠CBF=45°，又∠APC＞∠CBF，

∴∠APC＞45°．

考點：1．二次函數(shù)關(guān)系式；2．三角形全等的判定與性質(zhì)．