Question

如圖，正方形ABCD的邊長是1，點(diǎn)M，N分別在BC，CD上，使得△CMN的周長為2，則△MAN的面積最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),二次函數(shù)的最值,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：如圖，延長CB至L，使BL=DN，則Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN，進(jìn)而求證△AMN≌△AML，即可求得∠MAN=∠MAL=45°設(shè)CM=x，CN=y，MN=z，根據(jù)x²+y²=z²，和x+y+z=2，整理根據(jù)△=4（z-2）²-32（1-z）≥0可以解題．

解答：解：延長CB至L，使BL=DN，
則Rt△ABL≌Rt△ADN，
故AL=AN，
∵CM+CN+MN=2，CN+DN+CM+BM=1+1=2，
∴MN=DN+BM=BL+BM=ML，
∴△AMN≌△AML（SSS），
設(shè)CM=x，CN=y，MN=z
x²+y²=z²，
∵x+y+z=2，
則x=2-y-z
∴（2-y-z）²+y²=z²，
整理得2y²+（2z-4）y+（4-4z）=0，
∴△=4（z-2）²-32（1-z）≥0，
即（z+2-2

2

）（z+2+2

2

）≥0，
又∵z＞0，
∴z≥2

2

-2
此時S_△AMN=S_△AML=

1

2

ML•AB=

1

2

z
因此，當(dāng)z=2

2

-2，S_△AMN取到最小值為

2

-1．
故答案為：

2

-1．

點(diǎn)評：本題考查了勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用，考查了正方形各邊相等，各內(nèi)角是直角的性質(zhì)，本題求證三角形全等是解題的關(guān)鍵．