Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中有點(diǎn)A（-1，0）、點(diǎn)B（4，0），以AB為直徑的半圓交y軸正半軸于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，若在拋物線上有一點(diǎn)D，使四邊形BOCD為直角梯形，求直線BD的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接根據(jù)相交弦定理得出OC²=OA•OB，即可求出OC的長，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A，B，C坐標(biāo)直接求出拋物線的解析式即可；
（3）首先過點(diǎn)C作CD∥OB，交拋物線于點(diǎn)D，則四邊形BOCD為直角梯形，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（x，2）代入拋物線解析式求出D點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線BD的解析式即可．

解答：解：（1）如圖，連結(jié)AC，CB．    
依相交弦定理的推論可得：OC²=OA•OB，
即OC²=1×4=4，
解得：OC=2或-2（負(fù)數(shù)舍去），
故C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）；

（2）解法一：設(shè)拋物線解析式是y=ax²+bx+c（a≠0）．
把A（-1，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)坐標(biāo)代入上式得：

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=2

，
解之得：

a=- 1 2 b= 3 2 c=2

，
故拋物線解析式是y=-

1

2

x2+

3

2

x+2．
解法二：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），
把點(diǎn)C（0，2）的坐標(biāo)代入上式得：
a=-

1

2

．
故拋物線解析式是y=-

1

2

x2+

3

2

x+2．

（3）解法一：如圖，過點(diǎn)C作CD∥OB，交拋物線于點(diǎn)D，則四邊形BOCD為直角梯形．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)是（x，2）代入拋物線解析式整理得：
x²-3x=0，
解之得x₁=0，x₂=3．
∴故點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，2）
設(shè)過點(diǎn)B、點(diǎn)D的解析式為：y=kx+b，
把點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（3，2）的坐標(biāo)代入上式得：
 

4k+b=0 3k+b=2

解之得：

k=-2 b=8

，
故直線BD的解析式為y=-2x+8，
解法二：如圖，過點(diǎn)C作CD∥OB，交拋物線于點(diǎn)D，則四邊形BOCD為直角梯形．
由（2）知拋物線的對稱軸是x=

3

2

，
故過D的坐標(biāo)為（3，2），
設(shè)過點(diǎn)B、點(diǎn)D的解析式為：y=kx+b，
把點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)D（3，2）的坐標(biāo)代入上式得：

4k+b=0 3k+b=2

解之得：

k=-2 b=8

，
故直線BD的解析式為y=-2x+8，

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和直角梯形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出D點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．