Question

【題目】綜合與實(shí)踐--------圖形變換中的數(shù)學(xué)問題

問題情境：

如圖1，已知矩形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．將矩形沿剪開，得到四邊形和四邊形．

（1）求證：四邊形是矩形；

操作探究：

保持矩形位置不變，將矩形從圖1的位置開始，繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為（）．操作中，提出了如下向題，請(qǐng)你解答：

（2）如圖2，當(dāng)矩形旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)落在線段上時(shí)，線段恰好經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)與相交于點(diǎn).判斷四邊形的形狀，并說明理由；

（3）請(qǐng)從兩題中任選一題作答，我選擇題．

A．在矩形旋轉(zhuǎn)過程中，連接線段和．當(dāng)時(shí)，直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．

B．已知矩形中，．在矩形旋轉(zhuǎn)過程中，連接線段和，當(dāng)時(shí)，直接寫出的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）見解析;（3）A：60°或300°,B:或

【解析】

（1）由矩形ABCD的邊的中點(diǎn)可得ED//FC，ED=FC，根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形進(jìn)行解答即可；（2）由（1）可得四邊形EPCD為矩形，根據(jù)EA=ED即可證明四邊形EPCD為正方形；（3）A題①當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖位置時(shí)，連接PF，由AP=BP可得∠PAB=∠PBA，即可證明∠PAE=∠PBF，進(jìn)而利用SAS可證明△PAE≌△PBF，可得PE=PF，由PE=EF即可證明三角形PEF是等邊三角形，可得旋轉(zhuǎn)角∠PEF=60°，②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖位置時(shí)，連接PF，同①可得∠PEF=60°，可得旋轉(zhuǎn)角為300°；B題：在A題的基礎(chǔ)上，①過P作PH⊥EA延長(zhǎng)線于H，可得∠HEP=30°，根據(jù)∠HEP的三角函數(shù)可得HP、HE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得AH的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出AP的長(zhǎng)即可，②過A作AH垂直PE延長(zhǎng)線于H，可得∠AEH=30°，根據(jù)∠AEH的三角函數(shù)可求出AH、HE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得PH的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AP的長(zhǎng)即可.

（1）∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD//BC，AD=BC，∠D=90°，

又∵點(diǎn)E、F是AD、BC的中點(diǎn)，

∴ED//FC，ED=FC，

∴四邊形EPCD為平行四邊形，

又∵∠D=90°，

∴平行四邊形EPCD為矩形.

（2）四邊形EAGD是正方形，理由如下：

由（1）得四邊形EPCD為矩形，同理可得四邊形ABFE為矩形

∴∠E=∠EAB=∠EDG=90°

∴四邊形EAGD是矩形

又∵EA=ED

∴矩形EAGD是正方形.

（3）A題：①當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖位置時(shí)，∠PEF為旋轉(zhuǎn)角，連接PF，

∵AP=BP，

∴∠PAB=∠PBA，

∵∠EAB=∠ABF=90°，

∴∠PAE=∠PBF，

∵AE=BF，∠PAE=∠PBF，AP=BP，

∴△PAE≌△PBF，

∴PE=PF，

∵PE=EF，

∴PE=PF=EF，

∴三角形PEF是等邊三角形，

∴∠PEF=60°，即旋轉(zhuǎn)角為60°，

②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖位置時(shí)，連接PF，

∵AP=BP，

∴∠PAB=∠PBA，

∴∠PAE=∠PBF，

∵AE=BF，∠PAE=∠PBF，PA=PB，

∴△PAE≌△PBF，

∴PF=PE，

∵PE=EF，

∴PE=PF=EF，

∴△PEF是等邊三角形，

∴∠PEF=60°，

∴旋轉(zhuǎn)角為360°-60°=300°.

綜上所述：旋轉(zhuǎn)角為60°或300°.

B題：①如圖，過P作PH⊥EA延長(zhǎng)線于H，

由A①得∠PEF=60°，

∵∠AEF=90°，

∴∠HEP=30°，

∴HP=PE=×10=5，HE=PEcos30°=5，

∴AH=HE-AE=5-4=，

∴AP===2，

②如圖，過A作AH垂直PE延長(zhǎng)線于H，

由A②得∠PEF=60°，

∵∠AEF=90°，

∴∠AEH=30°，

∴AH=AE=2，HE=AEcos30°=6，

∴PH=PE+HE=10+6=16，

∴AP===2.

綜上所述：AP的長(zhǎng)為2或2.