Question

學(xué)完“軸對(duì)稱”這一章后，老師布置了一道思考題：如圖所示，點(diǎn)M，N分別在等邊△ABC的BC、CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點(diǎn)Q，求證：∠BQM=60°．

（1）請(qǐng)你完成這道思考題：

（2）做完（1）后，同學(xué)們?cè)诶蠋煹膯�發(fā)下進(jìn)行了反思，提出許多問題，如：

①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？

②若將題中的點(diǎn)M，N分別移動(dòng)到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60？

③若將題中的條件“點(diǎn)M，N分別在正三角形ABC的BC、CA邊上”改為“點(diǎn)M，N分別在正方形ABCD的BC，CD邊上”，是否仍能得到∠BQM=60°？……

請(qǐng)你作出判斷，在下列橫線上填寫“是”或“否”：

①________；②_______；③________．并對(duì)②，③的判斷，選擇一個(gè)畫出圖形，并給出證明．

 

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）① 是 ② 是 ③ 否，證明見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）由三角形ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到三個(gè)角相等，三條邊相等，利用SAS得到三角形ABM與三角形BCN全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，利用外角性質(zhì)及等量代換即可得證；

（2）①是真命題，條件與結(jié)論交換后，先利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形BMQ與三角形ABM相似，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，利用ASA得到三角形ABM與三角形BCN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；②是真命題，利用外角的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形ACM與三角形ABN全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到一對(duì)角相等，利用等式的性質(zhì)變形即可得證；③不是真命題，利用HL得到直角三角形ABM與三角形BCN全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠AMB=∠BNC，根據(jù)直角三角形BNC中兩銳角互余，利用等量代換及垂直的定義判斷得到∠BQM=90°．

試題解析：（1）∵△ABC為等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

在△ABM和△BCN中，∵BM=CN，∠ABM=∠BCN，AB=BC，∴△ABM≌△BCN（SAS），

∴∠BAM=∠CBN，∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°；

（2）①是；②是；③否；

若選擇①，已知：∠BQM=60°，

求證：BM=CN，

證明：∵∠BQM=∠ABM=60°，∠BMQ=∠AMB，∴△BMQ∽△AMB，∴∠CBN=∠BAM，

在△ABM和△BCN中，∵∠BAM=∠CBN，AB=BC，∠ABM=∠BCN，∴△ABM≌△BCN（ASA），

∴BM=CN；

若選擇②，證明：如圖，

在△ACM和△BAN中，∵CM=AN，∠ACM=∠BAN=120°，AC=AB，∴△ACM≌△BAN（SAS），

∴∠AMC=∠BNA，∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°﹣60°=120°，∴∠BQM=60°；

若選擇③，證明：如圖，

在Rt△ABM和Rt△BCN中，∵BM=CN，AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△BCN（HL），∴∠AMB=∠BNC，

又∵∠NBM+∠BNC=90°，∴∠QBM+∠QMB=90°，則∠BQM=90°．

故答案為：①是；②是；③否．

考點(diǎn)：1．全等三角形的判定與性質(zhì)；2．等邊三角形的性質(zhì)．