Question

【題目】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)P在AD上，若△PBC為直角三角形，則CP的長(zhǎng)為_____．

Answer 1

【答案】2或2或2

【解析】

分情況討論：①當(dāng)∠PBC＝90°時(shí)，P與A重合，由勾股定理得CP＝；②當(dāng)∠BPC＝90°時(shí)，由勾股定理得22+AP2+22+（4﹣AP）2＝16，求出AP＝2，DP＝2，由勾股定理得出CP＝；③當(dāng)∠BCP＝90°時(shí)，P與D重合，CP＝CD＝2．

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝4，∠A＝∠ABC＝∠BCD＝∠D＝90°，

分情況討論：①當(dāng)∠PBC＝90°時(shí)，P與A重合，

由勾股定理得：CP＝；

②當(dāng)∠BPC＝90°時(shí)，

由勾股定理得：BP2＝AB2+AP2＝22+AP2，CP2＝CD2+DP2＝22+（4﹣AP）2，BC2＝BP2+CP2＝42，

∴22+AP2+22+（4﹣AP）2＝16，

解得：AP＝2，

∴DP＝2，

∴CP＝；

③當(dāng)∠BCP＝90°時(shí)，P與D重合，CP＝CD＝2；

綜上所述，若△PBC為直角三角形，則CP的長(zhǎng)為或或2；

故答案為：2或2或2．