Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE是中線，CG平分∠ACB交BE于點(diǎn)G，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)，且∠ACF=∠CBG．

（1）求證：CF=BG；
（2）延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)H，判斷點(diǎn)G是否在線段AB的垂直平分線上？并說(shuō)明理由．
（3）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AB交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，請(qǐng)證明：CF=2DE．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠ABC=45°，

∵CG平分∠ACB，

∴∠BCG=45°=∠A，

∴∠BCG=∠CAB=45°，

在△ACF和△BCG中， ，

∴△ACF≌△BCG（ASA），

∴AF=CG，CF=BG

（2）解：點(diǎn)G在線段AB的垂直平分線上，如圖1所示：理由如下：

∵AC=BC，CG平分∠ACB，

∴CH⊥AB，H為AB中點(diǎn)，

∴點(diǎn)G在線段AB的垂直平分線上

（3）證明：連接AG．如圖2所示：

由（2）可知，AG=BG，∠GAB=∠GBA，

∵AD⊥AB，

∴∠GAB+∠GAD=∠GBA+∠D=90°，

∴∠GAD=∠D，

∴GA=GD=GB=CF．

∵AD⊥AB，CH⊥AB

∴CH∥AD，

∴∠D=∠EGC，

∵E為AC中點(diǎn)，

∴AE=EC，

在△AED和△CEG中， ，

∴△AED≌△CEG（SAS），

∴DE=EG，

∴DG=2DE，

∴CF=2DE

【解析】 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的定義得出∠BCG=∠CAB=45°，然后由ASA判斷出△ACF≌△BCG，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的三線合一得出CH⊥AB，H為AB中點(diǎn)，故點(diǎn)G在線段AB的垂直平分線上；
（3）連接AG，由垂直的定義得出∠GAD=∠D， 根據(jù)等邊對(duì)等角得出GA=GD=GB=CF，由平行線的判定得出CH∥AD，故∠D=∠EGC，然后由SAS得出△AED≌△CEG，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出結(jié)論。

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用平行線的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握由角的相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的條件，得到兩條直線平行（位置關(guān)系）這是平行線的判定；由平行線（位置關(guān)系）得到有關(guān)角相等或互補(bǔ)（數(shù)量關(guān)系）的結(jié)論是平行線的性質(zhì)；等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）．