【題目】如圖,拋物線y=﹣ x2+mx+n的圖象經(jīng)過點A(2,3),對稱軸為直線x=1,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點A,交x軸于點P,交拋物線于另一點B,點A、B位于點P的同側(cè).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若PA:PB=3:1,求一次函數(shù)的解析式;

(3)在(2)的條件下,當(dāng)k>0時,拋物線的對稱軸上是否存在點C,使得⊙C同時與x軸和直線AP都相切,如果存在,請求出點C的坐標(biāo),如果不存在,請說明理由.

【答案】(1) y=﹣ x2+ x+3;(2) y= x+2;(3) 存在,點C的坐標(biāo)為(1,5 ﹣10)或(1,﹣5 ﹣10).

【解析】試題分析: (1)根據(jù)拋物線的對稱軸為x=1可求出m的值,再將點A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中求出n值,此題得解;

(2)根據(jù)P、A、B三點共線以及PA:PB=3:1結(jié)合點A的坐標(biāo)即可得出點B的縱坐標(biāo),將其代入拋物線解析式中即可求出點B的坐標(biāo),再根據(jù)點A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AP的解析式;

(3)假設(shè)存在,設(shè)出點C的坐標(biāo),依照題意畫出圖形,根據(jù)角的計算找出∠DCF=EPF,再通過解直角三角形找出關(guān)于r的一元一次方程,解方程求出r值,將其代入點C的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論.

試題解析:

解:(1)∵拋物線的對稱軸為x=1,

∴﹣ =1,解得:m=

將點A(2,3)代入y=﹣ x2+ x+n中,

3=﹣1+1+n,解得:n=3,

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+3.

(2)∵P、A、B三點共線,PA:PB=3:1,且點A、B位于點P的同側(cè),

∴yA﹣yP=3yB﹣yP

又∵點P為x軸上的點,點A(2,3),

∴yB=1.

當(dāng)y=1時,有﹣x2+x+3=1,

解得:x1=﹣2,x2=4(舍去),

∴點B的坐標(biāo)為(﹣2,1).

將點A(2,3)、B(﹣2,1)代入y=kx+b中,

,解得: ,

∴一次函數(shù)的解析式y(tǒng)= x+2.

(3)假設(shè)存在,設(shè)點C的坐標(biāo)為(1,r).

∵k>0,

∴直線AP的解析式為y=x+2.

當(dāng)y=0時, x+2=0,

解得:x=﹣4,

∴點P的坐標(biāo)為(﹣4,0),

當(dāng)x=1時,y=

∴點D的坐標(biāo)為(1, ).

令⊙與直線AP的切點為F,與x軸的切點為E,拋物線的對稱軸與直線AP的交點為D,連接CF,如圖所示.

∵∠PFC=∠PEC=90°,∠EPF+∠ECF=∠DCF+∠ECF=180°,

∴∠DCF=∠EPF.

在Rt△CDF中,tan∠DCF=tan∠EPF= ,CD= ﹣r,

∴CD= CF= |r|= ﹣r,

解得:r=5 ﹣10或r=﹣5 ﹣10.

故當(dāng)k>0時,拋物線的對稱軸上存在點C,使得⊙C同時與x軸和直線AP都相切,點C的坐標(biāo)為(1,5 ﹣10)或(1,﹣5 ﹣10).

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