Question

如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，AC⊥AB，AB=

20

，且AC：BD=2：3．
（1）求AC的長(zhǎng)；
（2）求△AOD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)

專題：幾何圖形問(wèn)題

分析：（1）由“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”得到AO：BO=2：3，所以在直角△AOB中，利用勾股定理來(lái)求OA的長(zhǎng)度，則AC=2OA；
（2）△AOD與△AOB是等底同高的兩個(gè)三角形，所以它們的面積相等．

解答：解：（1）如圖，在?ABCD中，OA=OC=

1

2

AC，OB=OD=

1

2

BD．
∵AC：BD=2：3，
∴AO：BO=2：3，
故設(shè)AO=2x，BO=3x，則在直角△ABO中，由勾股定理得到：OB²-OA²=AB²，即9x²-4x²=20，
解得，x=2或x=-2（舍去），
則2x=4，即AO=4，
∴AC=2OA=8；

（2）如圖，S_△AOB=

1

2

AB•AO=

1

2

×

20

×4=4

5

．
∵OB=OD，
∴S_△AOD=S_△AOB=4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的性質(zhì)．此題利用了“平行四邊形的對(duì)角線相互平分”和“等底同高的兩個(gè)三角形相等”的性質(zhì)進(jìn)行解題的．