【題目】如圖,直線y=﹣x+5與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)D,拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=﹣x+5交于B,D兩點(diǎn),點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)M是直線BD上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),其橫坐標(biāo)為m,過點(diǎn)M作x軸的垂線,交直線BD于點(diǎn)P,當(dāng)線段PM的長度最大時(shí),求m的值及PM的最大值;
(3)在拋物線上是否存在異于B、D的點(diǎn)Q,使△BDQ中BD邊上的高為3,若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在請說明理由.
【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為:y=﹣x2+4x+5;(2)當(dāng)m=時(shí),PM有最大值;(3)存在滿足條件的點(diǎn)Q,其坐標(biāo)為Q1(2,9),Q2(3,8),Q3(﹣1,0),Q4(6,﹣7).
【解析】
(1)y=-x+5,令x=0,則y=5,令y=0,則x=5,故點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為(5,0)、(0,5),利用待定系數(shù)法即可求解;
(2)由題意可得M點(diǎn)坐標(biāo)為(m,﹣m2+4m+5),則則P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,﹣m+5),表示出PM的長度:PM=-m2+4m+5-(-m+5)=-m2+5m=-(m-)2+,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解;
(3)過Q作QG∥y軸交BD于點(diǎn)G,交x軸于點(diǎn)E,作QH⊥BD于H,設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)Q(x,﹣x2+4x+5),則G(x,﹣x+5),表示出QG的長度QG=|-x2+4x+5-(-x+5)|=|-x2+5x|,由條件可得△BOD是等腰直角三角形,,可證得△QHG為等腰直角三角形,則當(dāng)△BDQ中BD邊上的高為3時(shí),即QH=HG=3,QG=×3=6,|-x2+5x|=6,即可求解.
解:(1)y=﹣x+5,令x=0,則y=5,令y=0,則x=5,
故點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為(5,0)、(0,5),
則二次函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣x2+bx+5,將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得:b=4,
故拋物線的表達(dá)式為:y=﹣x2+4x+5;
(2)設(shè)M點(diǎn)橫坐標(biāo)為m(m>0),則P(m,﹣m+5),M(m,﹣m2+4m+5),
∴PM=﹣m2+4m+5﹣(﹣m+5)=﹣m2+5m=﹣(m-)2+,
∴當(dāng)m=時(shí),PM有最大值;
(3)如圖,過Q作QG∥y軸交BD于點(diǎn)G,交x軸于點(diǎn)E,作QH⊥BD于H,
設(shè)Q(x,﹣x2+4x+5),則G(x,﹣x+5),
∴QG=|﹣x2+4x+5﹣(﹣x+5)|=|﹣x2+5x|,
∵△BOD是等腰直角三角形,
∴∠DBO=45°,
∴∠HGQ=∠BGE=45°,
∴△QHG是等腰直角三角形,
當(dāng)△BDQ中BD邊上的高為3時(shí),即QH=HG=3,
∴QG=×3=6,
∴|﹣x2+5x|=6,
當(dāng)﹣x2+5x=6時(shí),解得x=2或x=3,
∴Q(2,9)或(3,8),
當(dāng)﹣x2+5x=﹣6時(shí),解得x=﹣1或x=6,
∴Q(﹣1,0)或(6,﹣7),
綜上可知存在滿足條件的點(diǎn)Q,其坐標(biāo)為Q1(2,9),Q2(3,8),Q3(﹣1,0),Q4(6,﹣7).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一條直線過點(diǎn)(0,4),且與拋物線y=x2交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-2.
(1)求這條直線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)在x軸上是否存在點(diǎn)C,使得△ABC是直角三角形?若存在,求出點(diǎn)C的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;
(3)過線段AB上一點(diǎn)P,作PM∥x軸,交拋物線于點(diǎn)M,點(diǎn)M在第一象限,點(diǎn)N(0,1),當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為何值時(shí),MN+3MP的長度最大?最大值是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,一枚質(zhì)地均勻的骰子,骰子有六個(gè)面并分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.如圖2,有,,,,,,7個(gè)圈,相鄰兩個(gè)圈間距相等.跳圈游戲的規(guī)則為:游戲者每擲一次骰子,骰子向上的一面上的數(shù)字是幾,就從圈開始向前連續(xù)跳幾個(gè)間距.如:從圈起跳,第一次擲得3,就連續(xù)跳3個(gè)間距,跳到圈;若第二次擲得3,就從開始連續(xù)跳3個(gè)間距,跳到圈;若第二次擲得4,就從圈開始連續(xù)跳4個(gè)間距,跳到圈后返回到圈;…設(shè)游戲者從圈起跳.
(1)小明隨機(jī)擲一次骰子,求跳到圈的概率;
(2)小亮隨機(jī)擲兩次骰子,用列表法或畫樹狀圖法求最后跳到圈的概率,并指出他與小明跳到圈的可能性一樣嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2 +bx+ 4與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(-4,0)、B(2,0),與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.E(1,2)為線段BC的中點(diǎn),BC的垂直平分線與x軸、y軸分別交于F、G.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式,并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)在直線EF上求一點(diǎn)H,使△CDH的周長最小,并求出最小周長;
(3)若點(diǎn)K在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng),當(dāng)K運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),
△EFK的面積最大?并求出最大面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一艘船由A港沿北偏東65°方向航行km至B港,然后再沿北偏西40°方向航行至C港,C港在A港北偏東20°方向.
求:(1)∠C的度數(shù);
(2)A,C兩港之間的距離為多少km.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.為擴(kuò)大銷售,增加盈利,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施,經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價(jià)1元,商場平均每天可多售出2件.
(1)每件襯衫降價(jià)多少元時(shí),商場平均每天的盈利是1050元?
(2)每件襯衫降價(jià)多少元時(shí),商場平均每天盈利最大?最大盈利是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,一次函數(shù)(a,b為常數(shù),且)與反比例函數(shù)(m為常數(shù),且)的圖象交于點(diǎn)A(﹣2,1)、B(1,n).
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)連結(jié)OA、OB,求△AOB的面積;
(3)直接寫出當(dāng)時(shí),自變量x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們知道,如圖1,AB是⊙O的弦,點(diǎn)F是的中點(diǎn),過點(diǎn)F作EF⊥AB于點(diǎn)E,易得點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),即AE=EB.⊙O上一點(diǎn)C(AC>BC),則折線ACB稱為⊙O的一條“折弦”.
(1)當(dāng)點(diǎn)C在弦AB的上方時(shí)(如圖2),過點(diǎn)F作EF⊥AC于點(diǎn)E,求證:點(diǎn)E是“折弦ACB”的中點(diǎn),即AE=EC+CB.
(2)當(dāng)點(diǎn)C在弦AB的下方時(shí)(如圖3),其他條件不變,則上述結(jié)論是否仍然成立?若成立說明理由;若不成立,那么AE、EC、CB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系?直接寫出,不必證明.
(3)如圖4,已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,Rt△ABC的外接圓⊙O的半徑為2,過⊙O上一點(diǎn)P作PH⊥AC于點(diǎn)H,交AB于點(diǎn)M,當(dāng)∠PAB=45°時(shí),求AH的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰△ABC中,AB=AC=4cm,∠B=30°,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止,同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度沿B→A→C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止.若△BPQ的面積為y運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),則下列圖象中能大致反映y與x之間關(guān)系的是( 。
A.B.C.D.
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