Question

如圖，反比例函數(shù)（k＞0）與長方形OABC在第一象限相交于D、E兩點(diǎn)，OA=2，OC=4，連接OD、OE、DE．記△OAD、△OCE的面積分別為S₁、S₂．

（1）①點(diǎn)B坐標(biāo)為　　　　　　；②S₁　　　　　　S₂（填“＞”、“＜”、“=”）；

（2）當(dāng)點(diǎn)D為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，求k的值及點(diǎn)E坐標(biāo)；

（3）當(dāng)S₁+S₂=2時(shí)，試判斷△ODE的形狀，并求△ODE的面積．

Answer 1

【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．

【分析】（1）根據(jù)OA=2，OC=4可直接得到點(diǎn)B坐標(biāo)；②根據(jù)反比例函k的意義可知S₁、S₂都等于|k|，即可得到答案；

（2）當(dāng)點(diǎn)D為AB中點(diǎn)時(shí)，AD=2，得出D的坐標(biāo)是（2，2），求出解析式即可；

（3）根據(jù)當(dāng)S₁+S₂=2時(shí)，由（1）得出S₁=S₂=1，進(jìn)而得出BD，BE的長，進(jìn)而得出DO²+DE²=OE²，△ODE是直角三角形，進(jìn)而得出三角形面積．

【解答】解：（1）①根據(jù)長方形OABC中，OA=2，OC=4，

則點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，2），

②∵反比例函數(shù)（k＞0）與長方形OABC在第一象限相交于D、E兩點(diǎn)，

利用△OAD、△OCE的面積分別為S₁=AD•AO，S₂=•CO•EC，xy=k，得出，

S₁=AD•AO=k，S₂=•CO•EC=k，

∴S₁=S₂；

（2）當(dāng)點(diǎn)D為AB中點(diǎn)時(shí)，AD=2，

∴D的坐標(biāo)是（2，2），

把D（2，2）代入y=得：

k=2×2=4，

∴y=．

∵點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，2），

∴E點(diǎn)橫坐標(biāo)為：4，

∴4×y=4，

∴y=1，

∴E點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，1）；

（3）當(dāng)S₁+S₂=2時(shí)，∵S₁=S₂，

∴S₁=S₂=1，

∵S₁=AD•AO=AD×2=1，

∴AD=1，

∵S₂=•CO•EC=×4×EC=1，

∴EC=，

∵OA=2，OC=4，

∴BD=4﹣1=3，

BE=2﹣=，

∴DO²=AO²+AD²=4+1=5，

DE²=DB²+BE²=9+=，

OE²=CO²+CE²=16+=，

∴DO²+DE²=OE²，

∴△ODE是直角三角形，

∵DO²=5，

∴DO=，

∵DE²=，

∴DE=，

∴△ODE的面積為：×DO×DE=××=．