【題目】如圖1,AB為⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,CD平分∠ACB交⊙O于點D,交AB于點E

1)求證:△ABD為等腰直角三角形;

2)如圖2,ED繞點D順時針旋轉90°,得到DE′,連接BE′,證明:BE′為⊙O的切線;

3)如圖3,點F為弧BD的中點,連接AF,交BD于點G,若DF1,求AG的長.

【答案】1)見解析;(2)見解析;(32

【解析】

1)由AB是⊙O的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,即可得∠ADB=90°,又由CD平分∠ACB,根據(jù)圓周角定理,可得AD=BD,繼而可得△ABD是等腰直角三角形;
2)證明△ADE≌△BDE',可得∠DAE=DBE',則∠OBE'=ABD+DBE'=90°,結論得證;
3)取AG的中點H,連結DH,則DH=AH=GH,求出DH=DF=1,則答案可求出.

1∵AB⊙O的直徑,

∴∠ADB∠ACB90°,

∵CD平分∠ACB

∴∠ACD∠DCB,

,

∴ADBD,

∴△ABD是等腰直角三角形.

2)由旋轉的性質得,∠EDE'90°,DEDE',

∵∠ADB90°,

∴∠ADE∠BDE',

∵ADBD,

∴△ADE≌△BDE'SAS),

∴∠DAE∠DBE'

∵∠EAD∠DCB45°,∠ABD∠DCA45°,

∴∠OBE'∠ABD+∠DBE'90°

∴BE′⊙O的切線;

3)解:F的中點,

∴∠FAD∠DAB22,

AG的中點H,連結DH,

∵∠ADB90°

∴DHAHGH

∴∠ADH∠FAD22,

∴∠DHF∠ADH+∠FAD45°,

∵∠AFD∠ACD45°,

∴∠DHF∠AFD,

∴DHDF1,

∴AG2DH2

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