Question

在正方形ABCD中E、F分別為BC、AB上的點，且∠FED=90°，∠DFE=60°
（1）△BFE、△FED及△ECD中是否存在相似三角形？請說明．
（2）若正方形邊長為1，試求△DEF的面積．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等角的余角相等求出∠BEF=∠CDE，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等，兩三角形相似可得△BFE和△CED相似；
（2）解直角三角形求出

EF

DE

=

3

3

，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出BE，然后求出CE，利用勾股定理列式求出DE²，然后根據(jù)三角形的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：（1）∵∠FED=90°，
∴∠BEF+∠CED=∠CDE+∠CED=90°，
∴∠BEF=∠CDE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△BFE∽△CED；

（2）∵∠FED=90°，∠DFE=60°，
∴

EF

DE

=

3

3

，
∵△BFE∽△CED，
∴

BE

CD

=

EF

DE

=

3

3

，
∴BE=

3

3

CD=

3

3

，
∴CE=1-

3

3

，
在Rt△CDE中，DE²=CE²+CD²=（1-

3

3

）²+1²=

7-2 3

3

，
∵EF=

3

3

•DE，
∴△DEF的面積=

1

2

DE•EF=

1

2

•DE•

3

3

•DE=

3

6

×

7-2 3

3

=

7 3 -6

18

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，同角的余角相等的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，難點在于求出DE²并用DE²表示出△DEF的面積．