Question

【題目】拋物線C1：y＝ax2﹣x+2（a＞0）與x軸交于A、B（點A在點B左側），與y軸交于點C．

（1）如圖1，若A（2，0），連AC、BC．

①直接寫出C1的解析式及△ABC的面積；

②將△AOC繞某一點逆時針旋轉90°至△A′O′C′（其中A、O、C的對應點分別為A′、O′、C′）．若旋轉后的△A′O′C′恰有一邊的兩個端點落在拋物線C1的圖象上，求點A′的坐標；

（2）如圖2，平移拋物線C1使平移后的新拋物線C2頂點在原點，P（，0）是x軸正半軸上一點，過P作直線交C2的圖象于A、B，過A的直線y＝x+b交C2于點C，過P作x軸的垂線交BC于點M，設點M的縱坐標為n，試判斷an是否為定值？若是，求這個定值，若不是，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①y＝x2﹣x+2，2；②A′（6，2）；（2）an為定值，an＝．

【解析】

（1）①將A（2，0）代入y＝ax2﹣x+2（a＞0），可得拋物線C1的解析式為：y＝x2﹣x+2（a＞0），求出C（0，2），OC＝2B（4，0），AB＝4﹣2＝2，所以S△ABC＝ABOC＝×2×2＝2；

②若C'、Q'在拋物線C1上，當x＝3時，y＝﹣，可得O'（3，﹣），A'（3，）；若C'、A'在拋物線C1上，設C'（t，﹣t+2），則A'（t+2，﹣t +4），將A'代入C1解得t＝4，A′（6，2）；

（2）平移后的新拋物線C2的解析式為：y＝ax2，設AP的直線解析式為y＝k（x﹣），聯(lián)立，ax2﹣kx+＝0，xA+xB＝，xAxB＝，xAxB＝（xA+xB），聯(lián)立，ax2﹣x﹣b＝0，xA+xC＝，xC＝﹣xA，直線BC的解析式為y＝px+q，聯(lián)立，ax2﹣px﹣q＝0，xB+xC＝，xBxC＝﹣，可得xB﹣xA＝①，xB（﹣xA）＝﹣，xB﹣xA＝﹣2q②，由①②可得q＝，將M代入y＝px+q，求得an＝．

解：（1）①將A（2，0）代入y＝ax2﹣x+2（a＞0），

得：0＝4a﹣3+2，解得：a＝，

∴拋物線C1的解析式為：y＝x2﹣x+2（a＞0）

令x＝0，得y＝2，

∴C（0，2），OC＝2

令y＝0，得x2﹣x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝4，

∴B（4，0），

∴AB＝4﹣2＝2

∴S△ABC＝ABOC＝×2×2＝2；

②若C'、Q'在拋物線C1上，

∵C'O'＝CO＝2，

∴當x＝3時，y＝﹣，

∴O'（3，﹣），

∴A'（3，）；

若C'、A'在拋物線C1上，設C'（t，﹣t+2），則A'（t+2，﹣t+4），

將A'代入C1得：（t+2）2﹣（t+2）+2＝﹣t+4，

解得t＝4，

∴A′（6，2）；

（2）∵平移后的新拋物線C2頂點在原點，∴平移后的新拋物線C2的解析式為：y＝ax2，

設AP的直線解析式為y＝k（x﹣），

聯(lián)立，ax2﹣kx+＝0，

∴xA+xB＝，xAxB＝，

∴xAxB＝（xA+xB），

聯(lián)立，ax2﹣x﹣b＝0，

∴xA+xC＝，xC＝﹣xA，

設直線BC的解析式為y＝px+q，聯(lián)立，ax2﹣px﹣q＝0，

∴xB+xC＝，xBxC＝﹣，

∴xB+（﹣xA）＝，

∴xB﹣xA＝①，xB（﹣xA）＝﹣，xB﹣xA＝﹣2q②，

由①②可得q＝，將M代入y＝px+q，

∴n＝q+＝，

∴an＝．