【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知四邊形DOBC是矩形,且D(0,4),B(6,0).若反比例函數(shù)(x>0)的圖象經(jīng)過線段OC的中點A,交DC于點E,交BC于點F.設(shè)直線EF的解析式為y2=k2x+b.
(1)求反比例函數(shù)和直線EF的解析式;
(溫馨提示:平面上有任意兩點M(x1,y1)、N(x2,y2),它們連線的中點P的坐標為( ))(2)求△OEF的面積;
(3)請結(jié)合圖象直接寫出不等式k2x -b﹣>0的解集.
【答案】(1)(2)(3)x<-6或-1.5<x<0
【解析】
(1)根據(jù)點A是OC的中點,可得A(3,2),可得反比例函數(shù)解析式為y1=,根據(jù)E(,4),F(6,1),運用待定系數(shù)法即可得到直線EF的解析式為y=-x+5;
(2)過點E作EG⊥OB于G,根據(jù)點E,F都在反比例函數(shù)y1=的圖象上,可得S△EOG=S△OBF,再根據(jù)S△EOF=S梯形EFBG進行計算即可;
(3)根據(jù)點E,F關(guān)于原點對稱的點的坐標分別為(-1.5,-4),(-6,-1),可得不等式k2x-b->0的解集為:x<-6或-1.5<x<0.
(1)∵D(0,4),B(6,0),
∴C(6,4),
∵點A是OC的中點,
∴A(3,2),
把A(3,2)代入反比例函數(shù)y1=,可得k1=6,
∴反比例函數(shù)解析式為y1=,
把x=6代入y1=,可得y=1,則F(6,1),
把y=4代入y1=,可得x=,則E(,4),
把E(,4),F(6,1)代入y2=k2x+b,可得
,解得,
∴直線EF的解析式為y=-x+5;
(2)如圖,過點E作EG⊥OB于G,
∵點E,F都在反比例函數(shù)y1=的圖象上,
∴S△EOG=S△OBF,
∴S△EOF=S梯形EFBG=(1+4)×=;
(3)由圖象可得,點E,F關(guān)于原點對稱的點的坐標分別為(-1.5,-4),(-6,-1),
∴由圖象可得,不等式k2x-b->0的解集為:x<-6或-1.5<x<0.
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【題目】在平面直角坐標系中,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A,B,與y軸交于點C,直線y=x+4經(jīng)過A,C兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在AC上方的拋物線上有一動點P.
①如圖1,當(dāng)點P運動到某位置時,以AP,AO為鄰邊的平行四邊形第四個頂點恰好也在拋物線上,求出此時點P的坐標;
②如圖2,過點O,P的直線y=kx交AC于點E,若PE:OE=3:8,求k的值.
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【題目】某數(shù)學(xué)小組在郊外的水平空地上對無人機進行測高實驗.如圖,兩臺測角儀分別放在A、B位置,且離地面高均為1米(即米),兩臺測角儀相距50米(即AB=50米).在某一時刻無人機位于點C (點C與點A、B在同一平面內(nèi)),A處測得其仰角為,B處測得其仰角為.(參考數(shù)據(jù):,,,,)
(1)求該時刻無人機的離地高度;(單位:米,結(jié)果保留整數(shù))
(2)無人機沿水平方向向左飛行2秒后到達點F(點F與點A、B、C在同一平面內(nèi)),此時于A處測得無人機的仰角為,求無人機水平飛行的平均速度.(單位:米/秒,結(jié)果保留整數(shù))
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【題目】如圖,直線與軸交于點,拋物線與軸的一個交點為(點在點的左側(cè)),過點作垂直軸交直線于點.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式;
(2)將繞點順時針旋轉(zhuǎn),點的對應(yīng)點分別為點
①求點的坐標;
②將拋物線向右平移使它經(jīng)過點,此時得到的拋物線記為,求出拋物線的函數(shù)表達式.
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【題目】如圖所示,二次函數(shù)y=k(x﹣1)2+2的圖象與一次函數(shù)y=kx﹣k+2的圖象交于A、B兩點,點B在點A的右側(cè),直線AB分別與x、y軸交于C、D兩點,其中k<0.
(1)求A、B兩點的橫坐標;
(2)若△OAB是以OA為腰的等腰三角形,求k的值;
(3)二次函數(shù)圖象的對稱軸與x軸交于點E,是否存在實數(shù)k,使得∠ODC=2∠BEC,若存在,求出k的值;若不存在,說明理由.
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【題目】定義:圓中有公共端點的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦.阿基米德折弦定理:如圖1,AB和BC組成圓的折弦,AB>BC,M是弧ABC的中點,MF⊥AB于F,則AF=FB+BC.
如圖2,△ABC中,∠ABC=60°,AB=8,BC=6,D是AB上一點,BD=1,作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E,連接EA,則∠EAC=_____°.
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【題目】如圖,⊙O的半徑為2,圓心O在坐標原點,正方形ABCD的邊長為2,點A、B在第二象限,點C、D在⊙O上,且點D的坐標為(0,2),現(xiàn)將正方形ABCD繞點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)150°,點B運動到了⊙O上點B1處,點A、D分別運動到了點A1、D1處,即得到正方形A1B1C1D1(點C1與C重合);再將正方形A1B1C1D1繞點B1按逆時針方向旋轉(zhuǎn)150°,點A1運動到了⊙O上點A2處,點D1、C1分別運動到了點D2、C2處,即得到正方形A2B2C2D2(點B2與B1重合),…,按上述方法旋轉(zhuǎn)2020次后,點A2020的坐標為( 。
A.(0,2)B.(2+,﹣1)
C.(﹣1﹣,﹣1﹣)D.(1,﹣2﹣)
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【題目】(1)如圖1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AP、BP分別平分∠CAB、∠CBA,過點P作DE∥AB交AC于點D,交BC于點E.求證:①點P是線段DE的中點;②求證:BP2=BE·BA;
(2)如圖2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,BP平分∠ABC,過點P作DE∥AB交AC于點D,交BC于點E,若點P為線段DE的中點,求AD的長度.
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【題目】如圖,在中,,,點為直線上一點,點為延長線上一點,且,連結(jié)、、.
(1)求證:;
(2)若,求的度數(shù).
(3)若點是的外心,當(dāng)點在直線的一個位置運動到另一個位置時,點恰好在的內(nèi)部,請直接寫出點走過的距離為_____.
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