Question

【題目】如圖所示，二次函數(shù)y＝k（x﹣1）2+2的圖象與一次函數(shù)y＝kx﹣k+2的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，直線AB分別與x、y軸交于C、D兩點(diǎn)，其中k＜0．

（1）求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

（2）若△OAB是以OA為腰的等腰三角形，求k的值；

（3）二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，是否存在實(shí)數(shù)k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）1，2；（2）﹣1或﹣2或﹣3；（3）存在， 或．

【解析】

（1）將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，然后求解進(jìn)一步得出答案即可；

（2）分兩種情況：①OA=AB；②OA=OB，據(jù)此分類(lèi)討論即可；

（3）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，據(jù)此分類(lèi)討論即可.

解：（1）將二次函數(shù)與一次函數(shù)聯(lián)立得：k（x﹣1）2+2＝kx﹣k+2，

解得：x＝1或2，

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)橫坐標(biāo)分別為1和2；

（2）OA＝，

①當(dāng)OA＝AB時(shí)，

即：1+k2＝5，解得：k＝±2（舍去2）；

②當(dāng)OA＝OB時(shí)，

4+（k+2）2＝5，解得：k＝﹣1或﹣3；

故k的值為：﹣1或﹣2或﹣3；

（3）存在，理由：

①當(dāng)點(diǎn)B在x軸上方時(shí)，

過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AE于點(diǎn)H，將△AHB的圖形放大見(jiàn)右側(cè)圖形，

過(guò)點(diǎn)A作∠HAB的角平分線交BH于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥x軸于點(diǎn)K，

圖中：點(diǎn)A（1，2）、點(diǎn)B（2，k+2），則AH＝﹣k，HB＝1，

設(shè)： HM＝m＝MN，則BM＝1﹣m，

則AN＝AH＝﹣k，AB＝，NB＝AB﹣AN，

由勾股定理得：MB2＝NB2+MN2，

即：（1﹣m）2＝m2+（+k）2，

解得：m＝﹣k2﹣k，

在△AHM中，tanα＝＝＝k+＝tan∠BEC＝＝k+2，

解得：k＝，

此時(shí)k+2＞0，則﹣2＜k＜0，故：舍去正值，

故k＝﹣；

②當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方時(shí)，

同理可得：tanα＝＝＝k+＝tan∠BEC＝＝＝-（k+2），

解得：k＝或，

此時(shí)k+2＜0，k＜﹣2，故舍去，

故k的值為：﹣或．