Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，P是BC邊上的動點(diǎn)（不與B、C重合）．設(shè)BP=x．
（1）當(dāng)x=6時(shí)，求PE的長；
（2）當(dāng)△BPE是等腰三角形時(shí)，求x的值；
（3）當(dāng)AD平分EP時(shí)，試判斷以EP為直徑的圓與直線AC的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BD=CD=6，AD⊥BC，所以x=6時(shí)，點(diǎn)P在D點(diǎn)處，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得PE=

1

2

AB=5；
（2）先得到BE=5，再分類討論：當(dāng)BP=BE=5，易得x=5；當(dāng)EP=EB，作EM⊥BD于M，如圖1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BM=PM，由點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EM∥AD得到M點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，則PB=BD=6，即x=6；當(dāng)PB=PE，如圖2，作PN⊥BE于N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得BN=EN=

1

2

BE=

5

2

，再證明Rt△BPN∽Rt△BAD，理由相似可計(jì)算出PB=

25

6

，即x=

25

6

；
（3）EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如圖3，在Rt△ABC中，利用勾股定理計(jì)算出AD=8，由點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，EF∥BD得到EF為△ABD的中位線，則EF=

1

2

BD=3，AF=DF=

1

2

AD=4，再利用“AAS”證明△OEF≌△OPD，則OF=OD=

1

2

DF=2，所以AO=AF+OF=6，然后在Rt△OEF中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出OE=

13

，證明Rt△AOH∽Rt△ACD，利用相似比計(jì)算出OH=

18

5

，再比較OE與OH的大小，然后根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷．

解答：解：（1）∵AB=AC=10，BC=12，D為邊BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD=6，AD⊥BC，
∴當(dāng)x=6時(shí)，點(diǎn)P在D點(diǎn)處，
∴PE為Rt△ABD斜邊上的中線，
∴PE=

1

2

AB=5；

（2）∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
∴BE=5，
當(dāng)BP=BE=5，則x=5；
當(dāng)EP=EB，作EM⊥BD于M，如圖1，則BM=PM，
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
而EM∥AD，
∴M點(diǎn)為BD的中點(diǎn)，
∴PB=BD=6，
∴x=6；
當(dāng)PB=PE，如圖2，作PN⊥BE于N，則BN=EN=

1

2

BE=

5

2

，
∵∠PBN=∠DBA，
∴Rt△BPN∽Rt△BAD，
∴PB：AB=BN：BD，即x：10=

5

2

：6，
∴x=

25

6

，
綜上所述，當(dāng)△BPE是等腰三角形時(shí)，x的值為5或6或

25

6

；

（3）以EP為直徑的圓與直線AC相交．理由如下：
EP交AD于O，作OH⊥AC于H，EF⊥AD于F，如圖3，
在Rt△ABD中，AB=10，BD=6，
∴AD=

AB2-BD2

=8，
∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，
而EF∥BD，
∴EF為△ABD的中位線，
∴EF=

1

2

BD=3，AF=DF=

1

2

AD=4，
∵AD平分EP，
∴OE=OP，
在△OEF和△OPD中

∠EFO=∠PDO ∠EOF=∠POD OE=OP

，
∴△OEF≌△OPD，
∴OF=OD，
∴OF=

1

2

DF=2，
∴AO=AF+OF=6，
在Rt△OEF中，EF=3，OF=2，
∴OE=

EF2+OF2

=

13

，
∵∠OAH=∠CAD，
∴Rt△AOH∽Rt△ACD，
∴OH：CD=AO：AC，即OH：6=6：10，解得OH=

18

5

，
∵OE=

13

=

5 13

5

=

325

5

，OH=

18

5

=

182

5

=

324

5

，
∴OE＞OH，
∴以EP為直徑的圓與直線AC相交．

點(diǎn)評：本題是圓的綜合題：熟練掌握直線與圓的位置關(guān)系的判定方法和等腰三角形的性質(zhì)；利用三角形全等解決線段相等的問題；利用三角形相似求線段的長；會運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．