Question

閱讀下列材料：

這個結論可以推廣為|x₁-x₂|表示在數(shù)軸上數(shù)x₁，x₂對應點之間的距離；

在解題中，我們會常常運用絕對值的幾何意義：

例1：解方程|x|=2．容易得出，在數(shù)軸上與原點距離為2的點對應的數(shù)為±2，即該方程的x=±2；

例2：解不等式|x-1|＞2．如圖，在數(shù)軸上找出|x-1|=2的解，即到1的距離為2的點對應的數(shù)為-1，3，則|x-1|＞2的解為x＜-1或x＞3；

例3：解方程|x-1|+|x+2|=5．由絕對值的幾何意義知，該方程表示求在數(shù)軸上與1和-2的距離之和為5的點對應的x的值．在數(shù)軸上，1和-2的距離為3，滿足方程的x對應點在1的右邊或-2的左邊．若x對應點在1的右邊，如圖可以看出x=2；同理，若x對應點在-2的左邊，可得x=-3．故原方程的解是x=2或x=-3．

參考閱讀材料，解答下列問題：

（1）方程|x+3|=4的解為         .

1或-7

（2）解不等式|x-3|+|x+4|≥9.

 （3）若|x-3|-|x+4|≤a對任意的x都成立，求a的取值范圍．

Answer 1

 解：（1）根據(jù)絕對值得意義，方程|x+3|=4表示求在數(shù)軸上與-3的距離為4的點對應的x的值為1或-7．

（2）∵3和-4的距離為7，

因此，滿足不等式的解對應的點3與-4的兩側．

當x在3的右邊時，如圖，

易知x≥4．

當x在-4的左邊時，如圖，

易知x≤-5．

∴原不等式的解為x≥4或x≤-5

（3）原問題轉化為：a大于或等于|x-3|-|x+4|最大值．

當x≥3時，|x-3|-|x+4|應該恒等于-7，

當-4＜x＜3，|x-3|-|x+4|=-2x-1隨x的增大而減小，

當x≤-4時，|x-3|-|x+4|=7，

即|x-3|-|x+4|的最大值為7．