Question

【題目】如圖①拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），點(diǎn)C三點(diǎn)．

（1）試求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D（2，m）在第一象限的拋物線上，連接BC，BD．試問(wèn)，在對(duì)稱軸左側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)P，滿足∠PBC＝∠DBC？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）點(diǎn)N在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)M在拋物線上，當(dāng)以M、N、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在．理由見(jiàn)解析；（3）M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）．

【解析】

（1）由已知，應(yīng)用待定系數(shù)法問(wèn)題可解；

（2）根據(jù)已知條件求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并且由線段OC、OB相等、CD∥x軸及等腰三角形性質(zhì)證明△CDB≌△CGB，利用全等三角形求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，求出直線BP的解析式，聯(lián)立二次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）設(shè)出點(diǎn)N坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分的性質(zhì)，表示點(diǎn)M坐標(biāo)，代入函數(shù)關(guān)系式，問(wèn)題可解.

解：如圖：

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0），點(diǎn)C三點(diǎn)．

∴ 解得

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）存在．理由如下：

y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．

∵點(diǎn)D（2，m）在第一象限的拋物線上，

∴m＝3，∴D（2，3），

∵C（0，3）

∵OC＝OB，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°．

連接CD，∴CD∥x軸，

∴∠DCB＝∠OBC＝45°，

∴∠DCB＝∠OCB，

在y軸上取點(diǎn)G，使CG＝CD＝2，

再延長(zhǎng)BG交拋物線于點(diǎn)P，

在△DCB和△GCB中，

CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，

∴△DCB≌△GCB（SAS）

∴∠DBC＝∠GBC．

設(shè)直線BP解析式為yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（3，0）代入，得

k＝﹣，b＝1，

∴BP解析式為yBP＝﹣x+1．

yBP＝﹣x+1，y＝﹣x2+2x+3

當(dāng)y＝yBP 時(shí)，﹣x+1＝﹣x2+2x+3，

解得x1＝﹣，x2＝3（舍去），

∴y＝，

∴P（﹣，）．

（3）M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）．

設(shè)點(diǎn)N坐標(biāo)為（1span>，n）

當(dāng)BC、MN為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，由BC、MN互相平分，M坐標(biāo)為（2,3-n）

代入y＝﹣x2+2x+3，3-n=﹣22+4+3，n=0；M（2,3）

當(dāng)BM、NC為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，由BM、NC互相平分，M坐標(biāo)為（-2,3+n）

代入y＝﹣x2+2x+3，3+n=﹣4-4+3，n=-8；M（-2,-5）

當(dāng)MC、BN為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，由MC、BN互相平分，M坐標(biāo)為（4, n-3）

代入y＝﹣x2+2x+3，n-3=﹣16+8+3，n=-2；M（4,-5）

故答案為：M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）