Question

如圖，已知點A（1，0），B（0，3），C（-3，0），動點P（x，y）在線段AB上，CP交y軸于點D，設(shè)BD的長為t．
（1）求t關(guān)于動點P的橫坐標x的函數(shù)表達式；
（2）若S_△BCD：S_△AOB=2：1，求點P的坐標，并判斷線段CD與線段AB的數(shù)量及位置關(guān)系，說明理由；
（3）在（2）的條件下，若M為x軸上的點，且∠BMD最大，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)A、B兩點的坐標求得直線AB的解析式，得到OB為3，由BD=t得OD=3-t．設(shè)P（x，-3x+3），作PE⊥AC于E，則OE=x，PE=-3x+3．再由
△COD∽△CEP，對應(yīng)邊的比相等即可求得t關(guān)于動點P的橫坐標x的函數(shù)表達式；
（2）先求的△AOB的面積，再根據(jù)S_△BCD：S_△AOB=2：1，求得△BCD的面積，求得BD，由（1）解出x，即得點P的坐標．再由△COD≌△BOA可得CD=AB．
∠OCD=∠ABO．又因為∠CDO=∠BDP，所以∠BPD=∠COD=90°于是CD⊥AB；
（3）設(shè)M（x，0），由圖可知：分兩種情況進行：討論x＜0和x＞0．當x＜0時，而tan∠BMO=-

3

x

．tan∠DMO=-

1

x

，再在△BOM中，求得tan∠BMD的值，得到tan∠BMD_max=

π

6

，所以M（-

3

，0），根據(jù)對稱性求得另一點（

3

，0）．

解答：解：（1）如圖，∵點A（1，0），B（0，3），

∴直線AB的解析式為：y=-3x+3．
∵OB=3，BD=t，
∴OD=3-t．
設(shè)P（x，-3x+3），作PE⊥AC于E，則OE=x，PE=-3x+3．
∵PE∥y軸，
∴△COD∽△CEP．
∴

OD

PE

=

OC

CE

∴

3-t

-3x+3

=

3

x+3

．
∴t=

12x

x+3

(0≤x≤1)；
（2）如圖，CD=AB，CD⊥AB．

∵S△AOB=

1

2

×1×3=

3

2

，S_△BCD：S_△AOB=2：1，
∴S_△BCD=3．
∴BD=2．
∴

12x

x+3

=2．解得：x=

3

5

．
∴P(

3

5

 ， 

6

5

)．
∵OD=OA=1，OC=OB=3，∠COD=∠BOA=90°，
∴在△COD和△BOA中，

OC=OB ∠COD=∠BOA OD=OA

∴△COD≌△BOA（SAS）．
∴CD=AB．
∵△COD≌△BOA，
∴∠OCD=∠ABO．
又∵∠CDO=∠BDP，
∴∠BPD=∠COD=90°．
∴CD⊥AB；
（3）設(shè)M（x，0）．
①當x＜0時，而tan∠BMO=-

3

x

，tan∠DMO=-

1

x

再△BOM中，tan∠BMD=tan（∠BMO-∠DMO）=

tan∠BMO-tan∠DMO

1+tan∠BMO•tan∠DMO

=

- 3 x + 1 x

1+ 3 x • 1 x

=

-2x

x2+3

=

2

-x+ 3 -x

≤

2

2 (-x)•( 3 -x )

=

1

3

=

3

3

所以tan∠BMDmax=

3

3

?∠BMD_max=

π

6

，此時-x=

3

-x

?x=-

3

，
所以M（-

3

，0）．
②當x＞0時，符合條件的點與M（-

3

，0）關(guān)于y軸對稱，即M′（

3

，0）．
綜上所述，符合條件的點M的坐標是M（-

3

，0）或（

3

，0）．

點評：本題主要考查了全等三角形以及相似三角形的判定與性質(zhì)，還用到三角函數(shù)的定義與點的坐標，難度較大．