Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC、AC于D、E兩點，過點D作DE⊥AC，垂足為F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若AE=DE，求∠B的度數(shù)．

Answer 1

考點：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)OD，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AB=AC得∠B=∠C，由OB=OD得∠B=∠ODB，則∠ODB=∠C，于是可判斷OD∥AC，由于DF⊥AC，所以O(shè)D⊥DF，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）連結(jié)OE，如圖，由AE=DE得

AE

=

DE

，根據(jù)垂徑定理有OE⊥AD，接著由圓周角定理得∠ADB=90°，于是可判斷OE∥BC，則∠B=∠AOE，∠C=∠AEO，得到∠AOE=∠AEO，則AE=AO，所以△AOE為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得∠AOE=60°，所以∠B=60°．

解答：（1）證明：連結(jié)OD，如圖，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)OE，如圖，
∵AE=DE，
∴

AE

=

DE

，
∴OE⊥AD，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴OE∥BC，
∴∠B=∠AOE，∠C=∠AEO，
∵∠B=∠C，
∴∠AOE=∠AEO，
∴AE=AO，
∵AO=EO，
∴AE=AO=EO，
∴△AOE為等邊三角形，
∴∠AOE=60°，
∴∠B=60°．

點評：本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了圓周角定理．