Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，拋物線與y軸交點(diǎn)為C，其頂點(diǎn)為D，連接BD，點(diǎn)P是線段BD上一個(gè)動點(diǎn)（不與B，D重合），過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如果P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），△PBE的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）本題需先根據(jù)拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，分別求出a、b的值，再代入拋物線y=ax²+bx+3即可求出它的解析式．
（2）根據(jù)B，D的坐標(biāo)運(yùn)用待定系數(shù)法求得直線BD的解析式，再根據(jù)三角形的面積公式以及y與x之間的函數(shù)關(guān)系式得到s與x之間的函數(shù)關(guān)系式．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)即x的值位于點(diǎn)D和點(diǎn)B的橫坐標(biāo)之間．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3（a≠0）經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)
∴把（-1，0）B（3，0）代入拋物線得：

0=a-b+3 0=9a+3b+3

，
解得

a=-1 b=2

，
∴拋物線解析式為：y=-x²+2x+3．
∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）；

（2）設(shè)直線BD解析式為：y=kx+b（k≠0），把B、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，
得

3k+b=0 k+b=4

，
解得k=-2，b=6，
直線BD解析式為y=-2x+6，
S=

1

2

PE•OE，
S=

1

2

PE•OE=

1

2

xy=

1

2

x（-2x+6）=-x²+3x，
∵頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4），B（3，0）
∴1＜x＜3，
∴S=-x²+3x（1＜x＜3）．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．能夠熟練運(yùn)用待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式；能夠根據(jù)函數(shù)圖象求得函數(shù)的定義域．