Question

已知：如圖，?ABCD中，O是CD的中點(diǎn)，連接AO并延長，交BC的延長線于點(diǎn)E．
（1）求證：△AOD≌△EOC；
（2）連接AC，DE，當(dāng)∠B=∠AEB=

 

°時，四邊形ACED是正方形？請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的判定

專題：幾何綜合題

分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，再根據(jù)中點(diǎn)定義可得DO=CO，然后可利用AAS證明△AOD≌△EOC；
（2）當(dāng)∠B=∠AEB=45°時，四邊形ACED是正方形，首先證明四邊形ACED是平行四邊形，再證對角線互相垂直且相等可得四邊形ACED是正方形．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC．
∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．
∵O是CD的中點(diǎn)，
∴OC=OD，
在△ADO和△ECO中，

∠D=∠OCE ∠DAO=∠CEO DO=CO

，
∴△AOD≌△EOC（AAS）；

（2）當(dāng)∠B=∠AEB=45°時，四邊形ACED是正方形．
∵△AOD≌△EOC，
∴OA=OE．
又∵OC=OD，
∴四邊形ACED是平行四邊形．
∵∠B=∠AEB=45°，
∴AB=AE，∠BAE=90°．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∴∠COE=∠BAE=90°．
∴?ACED是菱形．
∵AB=AE，AB=CD，
∴AE=CD．
∴菱形ACED是正方形．
故答案為：45．

點(diǎn)評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及正方形的判定，關(guān)鍵是掌握對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形．