Question

【題目】如圖，對稱軸為直線x＝1的拋物線與x軸交于B、C兩點，與y軸交于點A（0，3），且OA＝OC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線AC上方拋物線上的一點，過點P作PD⊥x軸于點D．若△PDC與△AOB相似，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）P(2，3)．

【解析】

（1）先得出點C和點B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為(m，﹣m2+2m+3)且0＜m＜3，得出DC=3﹣m，PD=﹣m2+2m+3，再分△PDC∽△AOB和△PDC∽△BOA兩種情況分別求解可得．

（1）∵拋物線的圖象經(jīng)過點A(0，3)，

∴OA=OC=3，

∴C(3，0)．

∵拋物線的對稱軸為直線x=1，且與x軸交于B、C兩點，

∴點B(﹣1，0)，

設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣3)，

把A(0，3)代入y=a(x+1)(x﹣3)，得：a=﹣1，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）如圖，

∵點P為直線AC上方的拋物線上一點，

∴設(shè)點P的坐標(biāo)為(m，﹣m2+2m+3)，且0＜m＜3．

∵PD⊥x軸于點D，

∴D(m，0)，

由（1）知A(0，3)，B(﹣1，0)，C(3，0)，

∴OB=1，OA=3，OC=3，

∴DC=3﹣m，PD=﹣m2+2m+3，

①若△PDC∽△AOB，則，即，

解得：m1=2，m2=3(舍去)，

當(dāng)m=2時，﹣m2+2m+3=3，

∴P(2，3)；

②若△PDC∽△BOA，則，即，

解得：m3=3(舍)，m4(舍)；

綜上可知：P(2，3)．