Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，⊙D的半徑為1．現(xiàn)將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)與矩形的對(duì)稱中心O重合，繞著O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，使它的一條直角邊與⊙D切于點(diǎn)H，此時(shí)兩直角邊與AD交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則tan∠EFO的值為____________．

本題主要是考查切線的性質(zhì)及解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用平行把已知角代換成其它相等的容易求出其正切值的角．可以通過證明∠EFO=∠HDE，再求出∠HDE的正切值就是∠EFO的正切值．

 

Answer 1

證明見解析

【解析】【解析】
連接DH．

∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，

∴BD==．

∵O是對(duì)稱中心，

∴OD=BD=．

∵OH是⊙D的切線，

∴DH⊥OH．

∵DH=1，

∴OH=2．

∴tan∠ADB=tan∠HOD=．

∵∠ADB=∠HOD，

∴OE=ED．

設(shè)EH為x，則ED=OE=OH﹣EH=2﹣x．

∴12+x2=（2﹣x）2，即EH=.

又∵∠FOE=∠DHO=90°,

∴FO∥DH,

∴∠EFO=∠HDE,

∴tan∠EFO=tan∠HDE==．