Question

如圖，在平面直角坐標系中，以M（0，2）圓心，4為半徑的⊙M交x軸于A、B兩點，交y軸于C、D兩點，連結(jié)BM并延長交⊙M于點P，連結(jié)PC交x軸于點E．
（1）求∠DMP的度數(shù)；
（2）求△BPE的面積．

Answer 1

考點：圓周角定理,坐標與圖形性質(zhì),解直角三角形

專題：計算題

分析：（1）由M點坐標得OM=2，在Rt△OBM中由于OM=

1

2

BM，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得∠OBM=30°，利用互余得∠BOM=60°，則根據(jù)對頂角相等即可得到∠DMP=∠BMO=60°；
（2）連結(jié)PA，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠BPP=90°，在Rt△PBA中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出PA=

1

2

PB=4，AB=

3

PA=4

3

，再根據(jù)垂徑定理，由OM⊥AB得到

AC

=

BC

，根據(jù)圓周角定理得∠APC=

1

2

∠BOC=30°，在Rt△PAE中計算出AE=

3

3

PA=

4 3

3

，則BE=AB-AE=

8 3

3

，然后根據(jù)三角形面積公式求解．

解答：解：（1）∵M（0，2），
∴OM=2，
在Rt△OBM中，∵MB=4，OM=2，
∴OM=

1

2

BM，
∴∠OBM=30°，
∴∠BOM=60°，
∴∠DMP=∠BMO=60°；
（2）連結(jié)PA，如圖，
∵PB為直徑，
∴∠BPP=90°，
在Rt△PBA中，
∵∠ABP=30°，PB=8，
∴PA=

1

2

PB=4，AB=

3

PA=4

3

，
∵OM⊥AB，
∴

AC

=

BC

，
∴∠APC=

1

2

∠BOC=30°，
在Rt△PAE中，∵∠APE=30°，PA=4，
∴AE=

3

3

PA=

4 3

3

∴BE=AB-AE=4

3

-

4 3

3

=

8 3

3

，
∴△BPE的面積=

1

2

×4×

8 3

3

=

16 3

3

．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了解直角三角形．