如圖，四邊形ABCD內接于圓，AB，DC延長線交于E，AD、BC延長線交于F，P為圓上任意一點，PE，PF分別交圓于R，S．若對角線AC與BD相交于T．求證：R，T，S三點共線．
考點：相似三角形的判定與性質,圓內接四邊形的性質
專題：證明題
分析：連接PD，AS，RC，BR，AP，SD．由△EBR∽△EPA，△FDS∽△FPA，知
BR
PA
=
EB
EP
，
PA
DS
=
FP
FD
，則
BR
DS
=
EB•FP
EP•FD
①；又由△ECR∽△EPD，△FPD∽△FAS，知
CR
PD
=
EC
EP
，
PD
AS
=
FP
FA
，則
CR
AS
=
EC•FP
EP•FA
②；由①，②得
BR•AS
DS•CR
=
EB•FA
EC•FD
．故
BR
RC
•
CD
DS
•
SA
AB
=
EB
BA
•
AF
FD
•
DC
CE
③，對△EAD應用梅涅勞斯定理，有
EB
BA
•
AF
FD
•
DC
CE
=1④由③，④得
BR
RC
•
CD
DS
•
SA
AB
=1．由此得到結論．
解答：證明：如圖，
連接PD，AS，RC，BR，AP，SD．
由△EBR∽△EPA，△FDS∽△FPA，知
BR
PA
=
EB
EP
，
PA
DS
=
FP
FD
．
兩式相乘，得
BR
DS
=
EB•FP
EP•FD
①，
又由△ECR∽△EPD，△FPD∽△FAS，知
CR
PD
=
EC
EP
，
PD
AS
=
FP
FA
．兩式相乘，得
CR
AS
=
EC•FP
EP•FA
②，
由①，②得
BR•AS
DS•CR
=
EB•FA
EC•FD
．故
BR
RC
•
CD
DS
•
SA
AB
=
EB
BA
•
AF
FD
•
DC
CE
③，
對△EAD應用梅涅勞斯定理，有
EB
BA
•
AF
FD
•
DC
CE
=1④
由③，④得
BR
RC
•
CD
DS
•
SA
AB
=1．
∴BD，RS，AC交于一點，
所以R，T，S三點共線．
點評：本題考查了三角形相似的判定與性質：有兩個角對應相等的兩個三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等．也考查了梅涅勞斯定理及其引理以及比例的性質．
練習冊系列答案
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個不同的整分點．

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分數(shù)
1
1
，
1
2
，
1
3
，…，
1
40
中共有
 
個分數(shù)可以化成混循環(huán)小數(shù)．

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若k=
2a+b
c
=
2c+a
b
=
2b+c
a
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米．

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．

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