Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、C（3，0），點(diǎn)B為拋物線頂點(diǎn)，直線BD為拋物線的對稱軸，點(diǎn)D在x軸上，連接AB、BC，∠ABC＝90°，AB與y軸交于點(diǎn)E，連接CE．

（1）求項點(diǎn)B的坐標(biāo)并求出這條拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P為第一象限拋物線上一個動點(diǎn)，設(shè)△PEC的面積為S，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系武，并求出S的最大值；

（3）如圖2，連接OB，拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使直線QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD，若存在請直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，2），y＝﹣x2+x+；（2）S＝﹣m2+2m+，S最大值；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，）．

【解析】

（1）先求出拋物線的對稱軸，證△ABC是等腰直角三角形，由三線合一定理及直角三角形的性質(zhì)可求出BD的長，即可寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法可求出拋物線解析式；

（2）求出直線AB的解析式，點(diǎn)E的坐標(biāo)，用含m的代數(shù)式表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如圖1，連接EP，OP，CP，則由S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE即可求出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)寫出S的最大值；

（3）先證△ODB∽△EBC，推出∠OBD＝∠ECB，延長CE，交拋物線于點(diǎn)Q，則此時直線QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD，求出直線CE的解析式，求出其與拋物線交點(diǎn)的坐標(biāo)，即為點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解：（1）∵A（﹣1，0）、C（3，0），

∴AC＝4，拋物線對稱軸為x＝＝1，

∵BD是拋物線的對稱軸，

∴D（1，0），

∵由拋物線的對稱性可知BD垂直平分AC，

∴BA＝BC，

又∵∠ABC＝90°，

∴BD＝AC＝2，

∴頂點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，2），

設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2+2，

將A（﹣1，0）代入，

得0＝4a+2，

解得，a＝﹣，

∴拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣1）2+2＝﹣x2+x+；

（2）設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，

將A（﹣1，0），B（1，2）代入，

得，

解得，k＝1，b＝1，

∴yAB＝x+1，

當(dāng)x＝0時，y＝1，

∴E（0，1），

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為﹣m2+m+，

如圖1，連接EP，OP，CP，

則S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE

＝×1×m+×3（﹣m2+m+）﹣×1×3

＝﹣m2+2m+，

＝﹣（m﹣）2+，

∵﹣＜0，根據(jù)二次函數(shù)和圖象及性質(zhì)知，當(dāng)m＝時，S有最大值；

（3）由（2）知E（0，1），

又∵A（﹣1，0），

∴OA＝OE＝1，

∴△OAE是等腰直角三角形，

∴AE＝OA＝，

又∵AB＝BC＝AB＝2，

∴BE＝AB﹣AE＝，

∴，

又∵，

∴，

又∵∠ODB＝∠EBC＝90°，

∴△ODB∽△EBC，

∴∠OBD＝∠ECB，

延長CE，交拋物線于點(diǎn)Q，則此時直線QC與直線BC所夾銳角等于∠OBD，

設(shè)直線CE的解析式為y＝mx+1，

將點(diǎn)C（3，0）代入，

得，3m+1＝0，

∴m＝﹣，

∴yCE＝﹣x+1，

聯(lián)立，

解得，或，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，）．