Question

如圖1，等邊△ABC中，BD是高，CO平分∠ACB，交BD于點O．
（1）求證：BO=2DO；
（2）連接AO，求∠AOB的度數；
（3）將圖1中的∠DOC繞點O逆時針方向旋轉a角度（60°＜a＜120°）時，如圖2，∠DOC的兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，求證：∠BMO=∠NMO．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,等邊三角形的性質

專題：

分析：（1）證明點O為△ABC的重心，即可解決問題．
（2）證明∠BAO+∠ABO=60°，借助三角形的內角和定理即可解決問題．
（3）如圖，作輔助線；證明△MOE∽△NOF，得到

ON

OM

=

NF

EO

，根據OE=OF，得到

ON

OM

=

NF

OF

；借助∠NOF=∠MON=60°，得到△NOF∽△MON，即可解決問題．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，BD是高，CO平分∠ACB，
∴點O為△ABC的重心，
∴BO=2DO．
（2）∵△ABC是等邊三角形，且點O為其重心，
∴∠BAC=∠ABC=60°，AO、BO分別平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAO+∠ABO=30°+30°=60°，∠AOB=180°-60°=120°，
即∠AOB的度數為120°．
（3）過點O作EF∥BC；則△AEF為等邊三角形，AO平分∠EAF；
∴∠AEF=∠AFE=60°，EO=FO；
∵∠MOF=∠AEO+∠EMO=∠MON+∠NOF，且∠MON=60°，
∴∠NOF=∠PME，
∴△MOE∽△NOF，
∴

ON

OM

=

NF

EO

，而OE=OF，
∴

ON

OM

=

NF

OF

，且∠NOF=∠MON=60°，
∴△NOF∽△MON，
∴∠NOF=∠OMN，
∴∠BMO=∠NMO．

點評：該題主要考查了等邊三角形的性質、相似三角形的判定及其性質等幾何知識點的應用問題；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用相似三角形的判定及其性質等幾何知識點來分析、推理、證明．