Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4）．點(diǎn)A在DE上，以A為頂點(diǎn)的拋物線過(guò)點(diǎn)C，且對(duì)稱軸x=1交x軸于點(diǎn)B．連接EC，AC．點(diǎn)P，Q為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）填空：點(diǎn)A坐標(biāo)為；拋物線的解析式為 ．
（2）在圖①中，若點(diǎn)P在線段OC上從點(diǎn)O向點(diǎn)C以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CE上從點(diǎn)C向點(diǎn)E以2個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，△PCQ為直角三角形？
（3）在圖②中，若點(diǎn)P在對(duì)稱軸上從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以1個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P做PF⊥AB，交AC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，交拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ，CQ．當(dāng)t為何值時(shí)，△ACQ的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）（1,4）,y=﹣（x﹣1）2+4
（2）解：依題意有：OC=3，OE=4，

∴CE= = =5，

當(dāng)∠QPC=90°時(shí)，

∵cos∠QCP= = ，

∴ = ，

解得t= ；

當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，

∵cos∠QCP= = ，

∴ = ，

解得t= ．

∴當(dāng)t= 或t= 時(shí)，△PCQ為直角三角形

（3）解：∵A（1，4），C（3，0），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，則

，

解得 ．

故直線AC的解析式為y=﹣2x+6．

∵P（1，4﹣t），將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得x=1+ ，

∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+ ，

將x=1+ 代入y=﹣（x﹣1）2+4中，得y=4﹣ ．

∴Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4﹣ ，

∴QF=（4﹣ ）﹣（4﹣t）=t﹣ ，

∴S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ

= FQAG+ FQDG

= FQ（AG+DG）

= FQAD

= ×2（t﹣ ）

=﹣ +t

=﹣ （t2+4﹣4t﹣4）

=﹣ （t﹣2）2+1，

∴當(dāng)t=2時(shí)，△ACQ的面積最大，最大值是1

【解析】解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點(diǎn)A在DE上，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，4），

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+4，

把C（3，0）代入拋物線的解析式，可得a（3﹣1）2+4=0，

解得a=﹣1．

故拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3；

（1）由拋物線的對(duì)稱軸為x=1，矩形OCDE的三個(gè)頂點(diǎn)分別是C（3，0），D（3，4），E（0，4），點(diǎn)A在DE上，得到點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，4），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x﹣1）2+4，把C（3，0）代入拋物線的解析式，求出a=﹣1，得到拋物線的解析式；（2）依題意有OC=3，OE=4，根據(jù)勾股定理CE=5，當(dāng)∠QPC=90°時(shí)，cos∠QCP= PC： CQ = OC：CE，得到 =， 解得t=； 當(dāng)∠PQC=90°時(shí)，由cos∠QCP= CQ： PC = OC： CE ，得到=，解得t=，當(dāng)t= 或t= 時(shí)，△PCQ為直角三角形；（3）把A（1，4），C（3，0），代入直線AC的解析式y(tǒng)=kx+b，得到直線AC的解析式為y=﹣2x+6，由P（1，4﹣t），將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，得到Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+，Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4﹣，得到QF=4﹣，所以S△ACQ=S△AFQ+S△CFQ，求出當(dāng)t=2時(shí)，△ACQ的面積最大，最大值是1；此題是綜合題，難度較大，計(jì)算和解方程時(shí)需認(rèn)真仔細(xì).