Question

如圖，AB為⊙O的直徑，PF切⊙O于A，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AC=8，過C作CF與AB、PA、⊙O分別交于E、D、F，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求：
（1）AB的長；
（2）tan∠ECB的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接AD、BD；可設(shè)CE=6x，AE=2y，進而根據(jù)已知條件，用x、y表示出DE、BE的長，由相交弦定理，即可求得x、y的比例關(guān)系；易證得△AEC∽△BED，根據(jù)所得成比例線段，即可求得BD的長，同理可設(shè)BC=m，由△BEC∽△DEA，求得AD的表達式；在Rt△ADB和Rt△ACB中，可由勾股定理分別表示出AB²，即可得到關(guān)于m的方程，從而求出m的值，即BC的長，即可由勾股定理求得AB的長；
（2）根據(jù)圓周角定理知：∠ECB=∠DAB，因此只需在Rt△ABD中，求出∠DAB的正切值即可．

解答：解：（1）設(shè)CE=6x，AE=2y，則DE=5x，BE=3y；
由相交弦定理，得：AE•EB=CE•DE，
即：2y•3y=5x•6x，
解得：

5

x=y；
∵∠ACD=∠ABD，∠AEC=∠DEB，
∴△AEC∽△DEB，則有：

AC

BD

=

AE

DE

；
∵AE=2y=2

5

x，DE=5x，
∴

AC

BD

=

2 5

5

，由于AC=8，則BD=4

5

；
設(shè)BC=m，同理可求得AD=

5

3

m；
∵AB是直徑，∴△ACB、△ADB是直角三角形；
由勾股定理，得：AB²=AC²+BC²=AD²+BD²，即：
8²+m²=（

5

3

m）²+（4

5

）²，解得m=6；
故BC=6，AD=2

5

；
故AB=

AC2+BC2

=10；

（2）由（1）得：tan∠ECB=tan∠DAB=

BD

AD

=2．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)與圓的切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．